Question

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+2x-3经过坐标轴上A，B，C三点，动点P在抛物线上．

（1）求证：OA=OC；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，直接写出△DEF外接圆的最小面积．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点的坐标，可得答案；
（2）①以A为直角顶点时，根据根据等腰三角形的性质，可得∠2的度数，∠3的度数，根据对顶角的性质，可得∠4的度数，根据等腰直角三角形的性质，可得P₁H₁=H₁G，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；②当C为直角顶点时，根据角的和差，可得∠P₂CH₂=45°，根据等腰直角三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据矩形的性质，可得OD与EF的关系，根据垂线段的性质，可得OD的长，根据圆的面积公式．

解答 （1）证明：由抛物线y=x²+2x-3
令y=0，则x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1，
所以A（-3，0），即OA=3；
令x=0，则y=-3，
所以C（0，-3），即OC=3；
所以OA=OC；              

（2）解：①当A为直角顶点时，过点A作AP₁⊥AC，交抛物线于点P₁，交y轴于点G，过P₁作P₁H₁⊥y轴于点H₁，如图1所示，
由（1）OA=OC，∠AOC=90°
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠1=∠2=45°．
∵∠P₁AC=90°，
∴∠P₁AO=45°，∠3=45°，
∴∠4=∠3=45°，
∴∠H₁P₁G=45°
△AOG，△P₁H₁G为等腰直角三角形
即OA=OG=3，P₁H₁=H₁G，
设P₁（a，a²+2a-3）
则 a=a²+2a-3-3，
解得a₁=2，a₂=-3（舍）
此时a²+2a-3=5
所以P₁坐标是（2，5）；
②当C为直角顶点时，过点C作CP₂⊥AC，交抛物线于点P₂，过P₂作P₂H₂⊥y轴于点H₂，如图2所示，
∵∠1=45°，∠P₂CA=90°，
∴∠P₂CH₂=45°．
∵∠P₂H₂C=90°，
∴△P₂H₂C为等腰直角三角形．
即P₂H₂=H₂C
设P₂（a，a²+2a-3）
则-a=-a²-2a+3-3，
解得a₁=-1，a₂=0（舍去），
此时a²+2a-3=-4
所以P₂坐标是（-1，-4）
综上所述，点P坐标是（2，5）或（-1，-4）．

（3）△DEF的外接圆面积最小等于$\frac{9π}{8}$． 
如图3所示，
因为△DEF为直角三角形，则它外接圆的直径为线段EF，要使圆的面积最小，则直径EF必须取最小值，
又因为EF与OD是矩形OEDF的对角线，所以EF=OD．
因为点到线的距离，垂线段最短，得
OD_最小值=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
故EF=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$时，△DEF的外接圆面积最小，得
π（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{9π}{8}$，
△DEF的外接圆面积最小等于$\frac{9π}{8}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系得出A、C点的坐标是解题关键；利用等腰三角形的性质得出关于a的方程式解题关键，要分类讨论，以防遗漏；利用矩形的性质得出OD与EF的关系是解题关键，又利用了垂线段的性质．