人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版
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在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠BAC = 60°，要求用直尺和圆规作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等边三角形. 下列作法正确的是（ ）.（题目中未给出选项内容，此处仅按原文呈现）
答案：
【例3】如图15.3 - 14，在△ADB中，∠ADB = 60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过点C作CE∥DA，交DB于点E，连接AE. 求证：（1）△ADB是等边三角形；（2）AE⊥DB.
答案：（1）证明：因为DC平分∠ADB，所以∠ADC = ∠BDC = 30°. 因为DC⊥AB，所以∠DCB = ∠DCA = 90°. 所以∠B = ∠DAB = 90° - 30° = 60°. 所以∠ADB = ∠B = ∠DAB = 60°. 所以△ADB是等边三角形. （2）证明：因为CE∥DA，△ADB是等边三角形，所以∠CEB = ∠ADB = 60°，∠ECB = ∠DAB = 60°. 所以∠CEB = ∠CBE = ∠ECB = 60°. 所以△CEB是等边三角形. 所以CE = BE = BC. 因为△ADB是等边三角形，DC⊥AB，所以BC = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$BD = BE. 所以E是BD的中点. 所以AE是△ADB的边BD上的中线. 又因为△ADB是等边三角形，所以AE⊥DB.
跟踪练习3：如图15.3 - 15，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在BC，CA，AB的延长线上，且CD = AE = BF. 求证：△DEF是等边三角形.
答案：证明：因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC = ∠ABC = ∠ACB = 60°，AB = BC = CA. 因为CD = AE = BF，所以AF = BD = CE. 又因为∠FAD = 180° - ∠BAC = 120°，∠DBE = 180° - ∠ABC = 120°，∠ECF = 180° - ∠ACB = 120°，所以在△FAD和△DBE中，$\begin{cases}AF = BD\\∠FAD = ∠DBE\\AD = BE\end{cases}$（AD = BC + CD，BE = AB + AE，因为AB = BC，CD = AE，所以AD = BE），所以△FAD≌△DBE（SAS）. 所以DF = DE. 同理可证△DBE≌△ECF，所以DE = EF. 所以DF = DE = EF. 所以△DEF是等边三角形.
