人教金学典同步解析与测评八年级数学上册人教版
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7. 如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分线交BC于点E，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点G，交AC于点F. 当△AEG是等腰三角形时，∠B与∠C不可能有的数量关系是（ ）.
A. ∠B + 2∠C = 90°
B. ∠C + 2∠B = 90°
C. ∠B = ∠C
D. 2∠C+\frac{3}{2}∠B = 90°
答案：1. 首先，根据垂直平分线的性质：
- 因为DE是AB的垂直平分线，所以AE = BE，则∠B = ∠BAE；因为GF是AC的垂直平分线，所以AG = CG，则∠C = ∠CAG。
- 那么∠AEG=∠B + ∠BAE = 2∠B，∠AGE=∠C + ∠CAG = 2∠C，∠EAG=∠BAC-(∠BAE + ∠CAG)=∠BAC-(∠B + ∠C)，又因为∠BAC=180°-(∠B + ∠C)，所以∠EAG = 180° - 2(∠B + ∠C)。
2. 然后，分三种情况讨论△AEG是等腰三角形：
- **情况一：当AE = AG时**：
- 则∠AEG = ∠AGE，即2∠B = 2∠C，所以∠B = ∠C。
- **情况二：当AE = EG时**：
- 则∠EAG = ∠AGE，即180° - 2(∠B + ∠C)=2∠C，化简可得：180°=2∠B + 4∠C，即∠B + 2∠C = 90°。
- **情况三：当AG = EG时**：
- 则∠EAG = ∠AEG，即180° - 2(∠B + ∠C)=2∠B，化简可得：180°=4∠B + 2∠C，即∠C + 2∠B = 90°。
3. 最后，综上可知2∠C+\frac{3}{2}∠B = 90°不可能成立，答案是D。
8. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且一边长为3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3.）
答案：1. 分情况讨论：
- **情况一：当腰长为3时**：
- 以A为圆心，3为半径画弧，与正方形的边相交。
- 与AB、AD边相交时，可得到等腰三角形AEF（E在AB上，F在AD上，AE = AF = 3）。
- 与AB、BC边相交时，设AE = 3，在AB上取点E，过E作EF⊥AB交BC于F，因为∠B = 90°，AE = 3，利用勾股定理可构造等腰三角形AEF（AE = EF = 3）。
- 与AD、CD边相交时，设AG = 3，在AD上取点G，过G作GH⊥AD交CD于H，可构造等腰三角形AGH（AG = GH = 3）。
- 示意图：分别画出上述三种情况的等腰三角形，并在腰长为3的边上标注3。（这里无法实际画图，你可以根据描述自行绘制）
9. 如图，直线a，b相交于点O，∠1 = 48°，A是直线a上的定点. 若B是直线b上的动点，以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，求∠OAB的度数.
答案：1. 分三种情况讨论：
- **情况一：当OA = OB时**：
- ∠OAB = ∠OBA，因为∠AOB = ∠1 = 48°，根据三角形内角和为180°，则∠OAB=\frac{1}{2}(180° - ∠AOB)=\frac{1}{2}(180 - 48)° = 66°。
- **情况二：当OA = AB时**：
- ∠AOB = ∠ABO = 48°，所以∠OAB=180°-2×48° = 84°。
- **情况三：当OB = AB时**：
- ∠OAB = ∠AOB = 48°。
- 综上，∠OAB的度数为66°或84°或48°。
1. 如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，D为BC的中点，DE⊥AC，垂足为E，AE = 2，求CE的长.
答案：1. 连接AD：
- 因为AB = AC，D为BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC，∠BAD = ∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC。
- 已知∠BAC = 120°，所以∠CAD = 60°。
2. 在Rt△ADE中：
- 因为DE⊥AC，∠CAD = 60°，所以∠ADE = 30°。
- 在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，已知AE = 2，所以AD = 2AE = 4。
3. 在Rt△ADC中：
- 因为∠CAD = 60°，∠C=\frac{1}{2}(180° - ∠BAC)=\frac{1}{2}(180 - 120)° = 30°。
- 同样根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，设CD = x，则AC = 2AD = 8。
- 又因为AC = 2AE+CE，AE = 2，AC = 8，所以CE=AC - 2AE=8 - 4 = 6。
