Question

12．已知函数f（x）定义域为[-1，1]，若对于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）在[-1，1]上是增加的；
（3）设f（1）=1，若f（x）＜m-2am+2，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义，利用赋值法，即可证出f（x）为奇函数；
（2）根据题意，利用函数单调性的定义，即可判定f（x）在[-1，1]上是增加的；
（3）利用单调性求出f（x）在[-1，1]上的最值f（x）max，再把f（x）＜m-2am+2恒成立转化为m-2am+2＞1恒成立，构造函数求出m的取值范围．

解答 解：（1）令x=y=0，∴f（0）=0．令y=-x，f（x）+f（-x）=0；
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数；------------（3分）
（2）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
令-1≤x₁＜x₂≤1，则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数；---------（6分）
（3）f（x）在[-1，1]上是增加的，f（x）max=f（1）=1，
要使f（x）＜m-2am+2对所有x∈[-1，1]恒成立，
只要m-2am+2＞1，即m-2am+1＞0；
令g（a）=m-2am+1=-2am+m+1，
要使g（a）＞0时a∈[-1，1]恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}g（-1）＞0\\ g（1）＞0.\end{array}$，
即$\left\{\begin{array}{l}1+3m＞0\\ 1-m＞0\end{array}$，
解得-$\frac{1}{3}$＜m＜1，
∴实数m的取值范围是（-$\frac{1}{3}$，1）．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了利用函数的单调性求不等式恒成立的问题，是综合性问题．