Question

4．已知点A（4，0），直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，且圆心C在l上．
（1）若CO=CA，O为坐标原点，求圆C的方程；
（2）若圆心C在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线方程．

Answer 1

分析 （1）由CO=CA，得到点C在线段OA的中垂线上，根据C在l上确定出C坐标，再由已知半径确定出圆C的标准方程即可；
（2）联立l与已知直线求出C坐标，根据A坐标设切线方程为y=k（x-4），根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径求出k的值，即可确定出切线方程．

解答 解：（1）∵CO=CA，
∴点C在OA的中垂线x=2上，
又C在y=2x-4，
∴C（2，0），
∵圆C的半径为1，
∴圆的方程为C：（x-2）²+y²=1；
（2）联立得：$\left\{\begin{array}{l}y=2x-4\\ y=x-1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（3，2），
设切线为y=k（x-4），
依题意有$\frac{{|{k+2}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，
此时切线方程为3x+4y-12=0，
当切线斜率不存在时：x=4也适合，
则所求切线的方程为3x+4y-12=0或x=4．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．