Question

2．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，1），B（4，-3），且$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PB}$，点Q是直线OB上一点．
（1）若λ=1，且$\overrightarrow{PQ}$$•\overrightarrow{OP}$=0，求点Q的坐标；
（2）如已知点M（3，2），向量$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OM}$夹角为锐角，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知求出P的坐标，再由向量垂直的坐标运算求得点Q的坐标；
（2）由$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PB}$，把P的坐标用含有λ的代数式表示，结合向量$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OM}$夹角为锐角求出λ的范围，去掉共线的情况得答案．

解答 解：（1）当λ=1时，得$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$，设P（x₁，y₁），
∵A（2，1），B（4，-3），
∴$\overrightarrow{AP}=（{x}_{1}-2，{y}_{1}-1），\overrightarrow{PB}=（4-{x}_{1}，-3-{y}_{1}）$，
由$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-2=4-{x}_{1}}\\{{y}_{1}-1=-3-{y}_{1}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，
∴P（3，-1），
设Q（x₂，y₂），则$\overrightarrow{PQ}=（{x}_{2}-3，{y}_{2}+1）$，
由$\overrightarrow{PQ}$$•\overrightarrow{OP}$=0，得3（x₂-3）-y₂-1=0，
即3x₂-y₂-10=0，①
由$\overrightarrow{OQ}∥\overrightarrow{OB}$，得-3x₂-4y₂=0，②
联立①②，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{8}{3}}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴Q（$\frac{8}{3}，-2$）；
（2）由（1）得$\overrightarrow{AP}=（{x}_{1}-2，{y}_{1}-1），\overrightarrow{PB}=（4-{x}_{1}，-3-{y}_{1}）$，
又$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PB}$，∴（x₁-2，y₁-1）=λ（4-x₁，-3-y₁），
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-2=4λ-λ{x}_{1}}\\{{y}_{1}-1=-3λ-λ{y}_{1}}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{4λ+2}{λ+1}}\\{{y}_{1}=\frac{1-3λ}{λ+1}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{4λ+2}{λ+1}，\frac{1-3λ}{λ+1}$），
又点M（3，2），且向量$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OM}$夹角为锐角，
∴$\frac{3（4λ+2）}{λ+1}+\frac{2（1-3λ）}{λ+1}＞0$，解得$λ＜-\frac{4}{3}$或λ＞-1．
当向量$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OM}$共线时，得$\frac{8λ+4}{λ+1}-\frac{3-9λ}{λ+1}=0$，即$λ=-\frac{1}{17}$，
∴当向量$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OM}$夹角为锐角时，λ的取值范围为$（-∞，-\frac{4}{3}）∪（-1，-\frac{1}{17}）∪（-\frac{1}{17}，+∞）$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，在平面向量与函数的综合问题中，向量的数量积、向量的平行及向量的垂直一般是作为转化的基本工具，最后转化为方程或不等式求解，是中档题．