Question

10．对于函数f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}+bx}$，其中b＞0，若f（x）的定义域与值域相同，则非零实数a的值为-4．

Answer 1

分析 根据函数的定义域与值域相同，故可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，故比较二区间的端点得出参数满足的方程解方程求参数即可．

解答 解：若a＞0，由于ax²+bx≥0，即x（ax+b）≥0，
∴对于正数b，f（x）的定义域为：D=（-∞，-$\frac{b}{a}$]∪[0，+∞），
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为 D=[0，-$\frac{b}{a}$]．
由于此时[f（x）]_max=f（-$\frac{b}{2a}$）=$\frac{b}{2\sqrt{-a}}$，
故函数的值域 A=[0，$\frac{b}{2\sqrt{-a}}$]．
由题意，有-$\frac{b}{a}$=$\frac{b}{2\sqrt{-a}}$，
由于b＞0，所以a=-4．
故答案为：-4．

点评 本题主要考查了函数的值域，以及函数的定义域和解方程，属于中档题．