Question

【题目】已知，二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设．

（1）求的值；

（2）若存在一条与轴垂直的直线和函数的图象相切，且切点的横坐标满足，求实数的取值范围；

（3）当实数取何值时，函数存在极值？并求出相应的极值点．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）；

（3）若时，，函数极小值点为；若时，当时，函数极小值点为，极大值点为（其中，）

【解析】

试题分析：（1）首先用向量的数量积公式代入到的表达式中，然后根据所给出的不等式解集即可求得的值；（2）若存在这样的直线，则说明函数的导数可为0，从而对函数求导后解得切点横坐标与的关系，根据不等式得到的范围，进而求得实数的范围；（3）当函数存在极值时，其导数必为零点，因此先对函数求导，由于解析式中含实数，由此对导数进行分类讨论，从而可求得极极值以及极值点．

试题解析：（1）∵，

∴二次函数，

关于的不等式的解集为，

也就是不等式的解集为，

∴和 是方程的两个根，

由韦达定理得：，

∴

（2）由（1）得，

∴，

∵存在一条与轴垂直的直线和的图象相切，且切点的横坐标为，

∴．

∵，∴．

令，则，

当时，，

∴在上为增函数，

从而，∴

（3）的定义域为，

∴

方程 （*）的判别式

．

①若时，，方程（*）的两个实根为，或，

则时，；时，，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

此时函数存在极小值，极小值点为可取任意实数，

②若时，当，即时，恒成立，在上为增函数，

此时在上没有极值

下面只需考虑的情况，由，得或，

当，则，

故时，，

∴函数在上单调递增，

∴函数没有极值．

当时，，

则时，时，时，，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时函数存在极大值和极小值，极小值点，有极大值点．

综上所述，若时，可取任意实数，此时函数有极小值且极小值点为；若时，当时，函数有极大值和极小值，此时极小值点为，极大值点为（其中）