Question

【题目】对于椭圆 ，有如下性质：若点 是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为 .利用此结论解答下列问题.
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）若动点 在直线 上，经过点 的直线 与椭圆 相切，切点分别为 .求证直线 必经过一定点.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆 在点 处的切线方程为 ，其斜率为 ，
∴ .又点 在椭圆上，∴ .解得 ， .∴椭圆 的方程为 ；
（Ⅱ）设 ， ， ，则切线 ，切线 .
∵ 都经过点 ，∴ ， .即直线 的方程为 .
又 ，∴ ，
即 .
令 得 ∴直线 必经过一定点
【解析】(1)根据椭圆C在点Q处的切线方程，求解出a与b的关系进而求出椭圆的方程。(2)根据题中点的坐标求出切线的方程，由点在直线上代入坐标到直线的方程即可求出直线的方程，联立直线的方程即可求出MN必经的点的坐标。