如图K457所示,在直棱柱ABCD A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
(1)证明:AC⊥B1D;
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
解:方法一:(1)证明:因为BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥BB1.
又AC⊥BD,且BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BB1D.
因为B1D⊂平面BB1D,所以AC⊥B1D.
(2)因为B1C1∥AD,所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ).
如图所示,连接A1D.
因为棱柱ABCD A1B1C1D1是直棱柱,且∠B1A1D1=∠BAD=90°,
所以A1B1⊥平面ADD1A1,所以A1B1⊥AD1.
又AD=AA1=3,所以四边形ADD1A1是正方形,于是A1D⊥AD1.又A1D∩A1B1=A1,
所以AD1⊥平面A1B1D,于是AD1⊥B1D.
由(1)知,AC⊥B1D,且AD1∩AC=A,
所以B1D⊥平面ACD1,
故∠ADB1=90°-θ.
在直角梯形ABCD中,因为AC⊥BD,所以∠BAC=∠ADB,
从而Rt△ABC∽Rt△DAB,故=,
即AB==.
连接AB1,易知△BB1D是直角三角形,且B1D2=BB+BD2=BB+AB2+AD2=21,即B1D=,
所以在Rt△AB1D中,cos∠ADB1===,
即cos(90°-θ)=,从而可得sin θ=,
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
方法二:(1)证明:易知,AB,AD,AA1两两垂直.如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AB=t,则有A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3),
令x=1,则n=(1,-,).
设直线B1C1与平面ACD1所成的角为θ,则
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
科目:高中数学 来源: 题型:
如图K451所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1,CA=CC1=2CB,则BC1与AB1所成角的余弦值为( )
图K451
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
如图K456所示,已知正三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
如图K4512所示,四棱锥E ABCD中,平面EAD⊥平面ABCD,DC∥AB,BC⊥CD,EA⊥ED,且AB=4,BC=CD=EA=ED=2.
(1)求证:BD⊥平面ADE.
(2)求BE和平面CDE所成角的正弦值.
(3)在线段CE上是否存在一点F,使得平面BDF⊥平面CDE?请说明理由.
图K4512
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科目:高中数学 来源:2015-2016学年河南省英文学校高二上学期期中考试数学试卷(解析版) 题型:填空题
若A=(x+3)(x+7),B=(x+4)(x+6),则A、B的大小关系为________.
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