Question

【题目】已知，其中.

（1）当时，求函数单调递增区间；

（2）求证：对任意，函数的图象在点处的切线恒过定点；

（3）是否存在实数的值，使得在上有最大值或最小值，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析；（3）或.

【解析】

试题（1）先求函数导数，再解导函数大于零时解集得函数单调递增区间，注意两个增区间不可用“或” 、“并”连接，（2）以算代证：先根据导数几何意义求切线斜率，再根据点斜式写切线方程，并按实数整理，最后根据恒成立列关于的方程组，解出定点坐标，（3）先求函数导数，再研究导函数零点，即转化为研究一元二次方程实根分布：没有实根或有两个相同实根时，导函数不变号，函数为单调递增函数，值域为，没有最值；有两个不同实根时，函数先增后减再增，只需极小值非正， 就可取到最小值，解不等式可得实数的取值范围.

试题解析：（1）当时，，.

令，得或.

∴函数的单调递增区间为，.

（2），

，.

∴函数的图象在点处的切线方程为.

即.

方程可化为，

当即时，对任意，恒成立.

∴函数的图象在点处的切线方程经过定点.

（3）.

令，，

，.

①当即时，，

∴，

∴在上单调递增，

∴在上不存在最大值和最小值.

②当即或时，设方程的两根为.

随的变化情况如下表：

当时，，；当时，.

∴要使在上有最大值或最小值，只需满足即有解.

∴，解得或.

综上可得，或.