Question

【题目】已知函数.

(1)证明：当， 时， ；

(2)若关于的方程有两个不相等的实根，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：

(1)函数的解析式， ， ，据此讨论可得在定义域内单调递增，则；

(2)否则函数，原问题等价于有两个零点，且，据此分类讨论：

若， 单调递减， 至多有一个零点，

若， 在上单调递减，在上单调递增，

则，

则时， 在上必有一个零点，

结合(1)的结论在上必有一个零点，

综上， 时，关于的方程有两个不相等的实根.

试题解析：

(1) ， ， ，

∵，∴，∴在定义域内单调递增，∴，

∴在定义域内单调递增，∴；

(2)设，即有两个零点， ，

若， ，得单调递减，∴至多有一个零点，

若， ，得， ，得，

∴在上单调递减，在上单调递增，

故，即，∴，此时，即，

当时， ，∴在上必有一个零点，

由(1)知当时， ，即，

而，得，∴，故在上必有一个零点，

综上， 时，关于的方程有两个不相等的实根.