设Sn表示数列{an}的前n项和.
(1)若{an}是等差数列,推导Sn的计算公式;
(2)若a1=1,q≠0,且对所有正整数n,有Sn=.判断{an}是否为等比数列,并证明你的结论.
解:(1)设{an}的公差为d,
则Sn=a1+a2+…+an
=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d],
又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d],
∴2Sn=n(a1+an),
∴Sn=.
(2)当n=1时,S1=1.
当n=2时,S2==1+q,a1+a2=1+q,a2=q.
当n=3时,S3==1+q+q2,a1+a2+a3=1+q+q2,a3=q2;
初步断定数列{an}为等比数列.
证明如下:
∵Sn=,
∴an+1=Sn+1-Sn=-
==qn.
∵a1=1,q≠0,
∴当n≥1时,有==q,
因此,{an}是首项为1且公比为q的等比数列.
科目:高中数学 来源: 题型:
已知数列{an}的前n项和Sn=3n+k(k为常数),那么下述结论正确的是( )
(A)k为任意实数时,{an}是等比数列
(B)k=-1时,{an}是等比数列
(C)k=0时,{an}是等比数列
(D){an}不可能是等比数列
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科目:高中数学 来源: 题型:
设{an}是公差大于零的等差数列,已知a1=2,a3=-10.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设{bn}是以函数y=4sin2πx的最小正周期为首项,以3为公比的等比数列,求数列{an-bn}的前n项和Sn.
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