1．(人教A版，必修2．P17．第4题)
图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称．
变式题1．如图1－1是一个几何体的三视图(单位：cm)
(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积；
(Ⅲ)设异面直线
与
所成的角为
，求
．
解：(Ⅰ)这个几何体的直观图如图1－2所示．
(Ⅱ)这个几何体是直三棱柱．
由于底面
的高为1，所以
．
故所求全面积
．
这个几何体的体积
(Ⅲ)因为
，所以与所成的角是
．
在
中，
，
故
．
2．(人教A版，必修2，P20．例3)
如图2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
变式题2－1．如图2－1．已知几何体的三视图(单位：cm)．
(Ⅰ)画出它的直观图(不要求写画法)；
(Ⅱ)求这个几何体的表面积和体积．
|
解(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2－2所示．
(Ⅱ)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1cm，高为2cm)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1cm，母线长为2cm，高为
cm)．
所以所求表面积
，
所求体积
．
变式题2－2．如图2－3，已知几何体的三视图(单位：cm)．
(Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；
(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积；
(Ⅲ)设异面直线
、
所成角为，求．(理科考生)
解：(Ⅰ)这个几何体的直观图如图2－4所示．
(Ⅱ)这个几何体可看成是由正方体
及直三棱柱
的组合体．
由
，
，
可得
．
故所求几何体的全面积
所求几何体的体积
(Ⅲ)由
，且
，可知
，
故
为异面直线、所成的角(或其补角)．
由题设知
，
，
取
中点
，则
，且
，
．
由余弦定理，得
．
3．(北师大版．必修2．P31．第4题)
如图3，已知E，F分别是正方体
的棱
和棱
上的点，且
，求证：四边形
是平行四边形
变式题：如图3－1．已知、
分别是正方体的棱和棱的中点．
(Ⅰ)试判断四边形的形状；
(Ⅱ)求证：平面
平面
．
解(Ⅰ)如图3－2，取
的中点
，连结
、
．
∵、分别是和的中点，
∴
，
在正方体中，有
， ∴
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
．
又、分别是、的中点，
∴
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
．
故
．
∴四边形是平行四边形．
又
≌
，
∴
，
故四边形为菱形．
(Ⅱ)连结
、
、
． ∵四边形为菱形，
∴
．
在正方体中，有
，
∴
平面
．
又
平面，
∴
．
又
，
∴
平面．
又平面，
故平面平面
4．(人教A版，必修2，P74．例2)
如图4，在正方体中，求直线
与平面
所成的角．
变式题：如图4－1，已知正四棱柱中，底面边长
，侧棱的长为4，过点
作
的的垂线交侧棱于点，交于点．
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)求与平面
所成的角的正弦值．
解：(Ⅰ)如图4－2，以
为原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立空间直角坐标系
．
∴
．
设
，则
．
∵
，∴
．
∴
，∴
，
．
又
，
∴
且
．
∴
且
．
∴
且．∴
平面．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
是平面的一个法向量，又
，
∴
．
∴与平面所成角的正弦值为
．
5．(人教A版，必修2，P87，第10题)
如图5，已知平面
，且
是垂足，试判断直线
与
的位置关系？并证明你的结论．
变式题5－1，如图5，已知平面，且是垂足．
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)若
，试判断平面
与平面
的位置关系，并证明你的结论．
变式题5－1，如图5，已知平面，
且是垂足．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．
解(Ⅰ)因为
，所以
．同理
．
又
，故平面．
(Ⅱ)设与平面的交点为
，连结
、
．
因为平面，所以
，
所以
是二面角
的平面角．
又，所以
，即
．
在平面四边形
中，
，
所以
．
故平面
平面．
变式题5－2．如图5－1，已知直二面角
，
与平面、所成的角都为
，
．
为垂足，
为垂足．
(Ⅰ)求直线
与所成角的大小；
(Ⅱ)求四面体
的体积．
解：(Ⅰ)如图5－2，在平面内，作
，连结
、
．则四边形
为平行四边形，所以
，即
为直线与所成的角(或其补角)．
因为
．
所以
．同理
．
又与平面、所成角为，所以
，
，所以
，
．
在
中，
，从而
．
因为
，且为平行四边形，
所以
．
又
，所以
．
故
平面
，从而
．
在
中，
．
所以
，
即直线与所成角的大小为
．
(Ⅱ)在
中，
，所以
．
三角形
的面积
，
故四面体的体积
．
6．(人教A版，必修2，P87，B组第1题)
如图5，边长为2的正方形ABCD中，
(1)点是的中点，点是的中点，将
分别沿
折起，使
两点重合于点
，求证：
．
(2)当
时，求三棱锥
的体积．
变式题．如图5－1，在矩形
中，
是的中点，以
为折痕将
向上折起，使为
，且平面
平面
．
(Ⅰ)求证：
；
(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值．
解(Ⅰ)在
中，
，
在
中，
，
∵
，
∴
．
∵平面
平面，且交线为，
∴
平面
．
∵
平面，
∴
．
(Ⅱ)设与
相交于点，由(Ⅰ)知，
∵
，
∴
平面
，
∵平面，
∴平面
平面，且交线为
，
如图6－2，作
，垂足为
，则
平面，
连结
，则
是直线与平面所成的角．
由平面几何的知识可知
，∴
．
在
中，
，
在
中，
，可求得
．
∴
．
∴直线与平面所成的角的正弦值为
．