1.(北师大版必修2 第93 页A组第1题)
已知点
，求直线
的斜率.
变式1：已知点，则直线的倾斜角是( )
A.
B.
C.
D.
解：∵
，∴
，∵
，∴
，故选(C).
变式2：(2006年北京卷)若三点
共线，则
的值等于
.
解：∵
、
、
三点共线，∴
，∴
，∴
，∴
.
变式3：已知点
，直线
的倾斜角是直线的倾斜角的一半，求直线的斜率.
解：设直线的倾斜角为
，则直线的倾斜角为
，依题意有
，∴
，∴
，∴
或
.由
，得
，∴
，∴，∴直线的斜率为
.
2.(人教A版必修2 第111页A组第9题)
求过点
，并且在两轴上的截距相等的直线方程.
变式1：直线
在
轴上的截距为
，在
轴上的截距为
，则( )
A.
B.
C.
D.
解：令
得
，∴直线在轴上的截距为
；令
得
，∴直线在轴上的截距为
，故选(B).
变式2：过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .
解：依题意，直线的斜率为1或直线经过原点，∴直线的方程为
或
，即
或
.
变式3：直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线的方程.
解：依题意，直线的斜率为±1，∴直线的方程为或
，即或
.
3.(人教A版必修2 第124页A组第3题)
求直线
与坐标轴围成的三角形的面积.
变式1：过点(-5，-4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 .
解：设所求直线方程为
，依题意有
，
∴
(无解)或
，解得
或
.
∴直线的方程是或
.
变式2：(2006年上海春季卷)已知直线过点
，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，
为坐标原点，则△OAB面积的最小值为
.
解：设直线的方程为
，
则
，当且仅当
即
时取等号，∴当时，
有最小值4.
变式3：已知射线
和点
，在射线上求一点
，使直线
与及轴围成的三角形面积
最小.
解：设
，则直线的方程为
.令得
，∴
，当且仅当
即
时取等号，∴当为(2，8)时，三角形面积最小.
4.(北师大版必修2 第117页A组第10题)
求过点
，且与直线
平行的直线的方程.
变式1：(2005年全国卷)已知过点
和
的直线与直线
平行，则
的值为( )
A.0 B.-8 C.2 D.10
解：依题意有
，解得
，故选(B).
变式2：与直线平行，且距离等于
的直线方程是
.
解：设所求直线方程为
，则
，解得
或，∴直线方程为
或
.
变式3：已知三条直线
不能构成三角形，求实数的取值集合.
解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，故
或
或
，∴实数的取值集合是
.
5.(北师大版必修2 第117页A组第7题)
若直线
和直线
垂直，求的值.
变式1：(1987年上海卷)若直线
与直线
平行但不重合，则等于( )
A.-1或2
B.-1 C.2
D.
解：∵
，∴
且
，∴
且
，解得
，故选(B).
变式2：(2005年北京春季卷)“
”是“直线
与直线
相互垂直”的( )
A.充分必要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解：由
或
，知由可推出
，但由
推不出，故是的充分不必要条件，故选(B).
变式3：设直线与圆
相交于点
、
两点，为坐标原点，且
，求的值.
解：∵圆经过原点，且，∴
是圆的直径，∴圆心(1，-2)在直线上，∴
.
6.(人教A版必修2 第110页A组第3题)
已知
，
，求线段的垂直平分线的方程.
变式1：已知关于直线的对称点为，则直线的方程是( )
A.
B.
C.
D.
解：依题意得，直线是线段的垂直平分线.∵
，∴
，∵的中点为(1，1)，∴直线的方程是
即，故选(B).
变式2：已知圆
与圆
关于直线对称 ，则直线的方程是
.
解：依题意得，两圆的圆心与关于直线对称，故直线是线段的垂直平分线，由变式1可得直线的方程为.
变式3：求点关于直线
的对称点的坐标.
解：设
.由
，且的中点在直线上，得
，解得
，∴.
7.(北师大版必修2 第118页B组第2题)
光线自点
射到点
后被轴反射，求反射光线所在直线的方程.
变式1：一条光线从点
射出，经轴反射，与圆
相切，则反射光线所在直线的方程是 .
解：依题意得，点关于轴的对称点
在反射光线所在的直线上，故可设反射光线所在直线的方程为
，即
.由反射光线与圆相切得
，解得
或
，∴反射光线所在直线的方程是
或
，即
或
.
变式2：(2003年全国卷)已知长方形的四个顶点
、
、
和
，一质点从的中点
沿与夹角为
的方向射到
上的点
后，依次反射到
、
和上的点
、
和
(入射角等于反射角).设的坐标为
.若
，则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解：用特例法，取
，则、、、分别为、、、的中点，此时
.依题意，包含的选项(A)(B)(D)应排除，故选(C).
变式3：已知点
，在直线
上求一点P，使
最小.
解：由题意知，点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点
，然后连结
，则直线与的交点P为所求.事实上，设点
是上异于P的点，则
.
设
，则
，解得
，∴
，∴直线的方程为
.由
，解得
，∴
.
8.(人教A版必修2第144页A组 3)
求以
为圆心，并且与直线
相切的圆的方程.
变式1：(2006年重庆卷)过坐标原点且与圆
相切的直线的方程为(
)
A.
或
B.
或
C.或
D.或
解：设直线方程为
，即
.∵圆方程可化为
，∴圆心为(2，-1)，半径为
.依题意有
，解得
或
，∴直线方程为或，故选(A).
变式2：(2006年湖北卷)已知直线
与圆
相切，则的值为
.
解：∵圆
的圆心为(1，0)，半径为1，∴
，解得
或
.
变式3：求经过点
，且与直线
和
都相切的圆的方程.
解：设所求圆的方程为
，则
，
解得
或
，∴圆的方程为
或
.
9.(人教A版必修2 第144页 A组 第5题)
求直线
被圆
截得的弦的长.
变式1：(1999年全国卷)直线
截圆
得的劣弧所对的圆心角为(
)
A.
B.
C.
D.
解：依题意得，弦心距
，故弦长
，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为
，故选(C).
变式2：(2006年天津卷)设直线
与圆
相交于、两点，且弦的长为
，则
.
解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得
，解得
.
变式3：已知圆
，直线
.
(1)求证：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆截得的弦长最小时的方程.
解：(1)∵直线
恒过定点
，且
，∴点在圆内，∴直线与圆恒交于两点.
(2)由平面几何性质可知，当过圆内的定点的直线垂直于
时，直线被圆截得的弦长最小，此时
，∴所求直线的方程为
即
.
10.(北师大版必修2第117页A组 第14题)
已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.
变式1：(2006年安徽卷)直线
与圆
没有公共点，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解：依题意有
，解得
.∵
，∴
，故选(A).
变式2：(2006年湖北卷)若直线
与圆
有两个不同的交点，则
的取值范围是
.
解：依题意有
，解得
，∴的取值范围是
.
变式3：若直线
与曲线
有且只有一个公共点，求实数的取值范围.
解：∵曲线表示半圆
，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是
或
.
11.(北师大版必修2第101页例8)
判断圆
与圆
的位置关系，并画出图形.
变式1：(1995年全国卷)圆
和圆
的位置关系是( )
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
解：∵圆
的圆心为
，半径
，圆
的圆心为
，半径
，∴
.∵
，∴两圆相交，故选(C).
变式2：若圆
与圆
相切，则实数的取值集合是
.
解：∵圆
的圆心为
，半径
，圆
的圆心为
，半径
，且两圆相切，∴
或
，∴
或
，解得
或
，或
或
，∴实数的取值集合是
.
变式3：求与圆
外切于点
，且半径为
的圆的方程.
解：设所求圆的圆心为
，则所求圆的方程为
.∵两圆外切于点，∴
，∴
，∴
，∴所求圆的方程为
.
12.(人教A版必修2 第145页B组第2题)
已知点
，点在圆
上运动，求
的最大值和最小值.
变式1：(2006年湖南卷)圆
上的点到直线
的最大距离与最小距离的差是(
)
A.36
B.18 C.
D.
解：∵圆
的圆心为(2，2)，半径
，∴圆心到直线的距离
，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
，故选(C).
变式2：已知
，，点在圆
上运动，则
的最小值是
.
解：设
，则
.设圆心为
，则
，∴
的最小值为
.
变式3：已知点在圆
上运动.
(1)求
的最大值与最小值；(2)求
的最大值与最小值.
解：(1)设
，则表示点与点(2，1)连线的斜率.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由
，解得
，∴的最大值为
，最小值为
.
(2)设
，则表示直线在轴上的截距. 当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由
，解得
，∴的最大值为
，最小值为
.
13.(人教A版必修2第135页B组第3题)
已知点
与两个定点
，
的距离的比为
，求点的轨迹方程.
变式1：(2006年四川卷)已知两定点，
，如果动点满足
，则点的轨迹所包围的面积等于(
)
A.
B.
C.
D.
解：设点的坐标是
.由，得
，化简得
，∴点的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为，故选(B).
变式2：(2004年全国卷)由动点向圆
引两条切线
、
，切点分别为、，
=600，则动点的轨迹方程是
.
解：设.∵=600，∴
=300.∵
，∴
，∴
，化简得，∴动点的轨迹方程是.
变式3：(2003年北京春季卷)设
为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值
，求点的轨迹.
解：设动点的坐标为.由
，得
，
化简得
.
当
时，化简得
，整理得
；
当
时，化简得.
所以当时，点的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆；
当时，点的轨迹是轴.
14.(人教A版必修2第133页例5)
已知线段的端点的坐标是(4，3)，端点在圆
上运动，求线段的中点的轨迹方程.
变式1：已知定点
，点在圆上运动，是线段上的一点，且
，则点的轨迹方程是( )
A.
B.
C.
D.
解：设
.∵，∴
，
∴
，∴
.∵点在圆上运动，∴
，∴
，即
，∴点的轨迹方程是，故选(C).
变式2：已知定点，点在圆上运动，
的平分线交于点，则点的轨迹方程是
.
解：设.∵
是的平分线，∴
， ∴
.由变式1可得点的轨迹方程是
.
变式3：已知直线
与圆相交于、两点，以
、
为邻边作平行四边形
，求点的轨迹方程.
解：设，的中点为.∵是平行四边形，∴是
的中点，∴点的坐标为
，且
.∵直线经过定点
，∴
，∴
，化简得.∴点的轨迹方程是.
15.(人教A版必修2第144页练习第3题)
某圆拱桥的水面跨度20，拱高4.现有一船宽10，水面以上高3，这条船能否从桥下通过？
变式1：某圆拱桥的水面跨度是20，拱高为4.现有一船宽9，在水面以上部分高3，故通行无阻.近日水位暴涨了1.5，为此，必须加重船载，降低船身.当船身至少应降低
时，船才能通过桥洞.(结果精确到0.01)
解：建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为
.
∵圆经过点(10，0)，(0，4)，∴
，解得
.
∴圆的方程是
. 令
，得
.
故当水位暴涨1.5后，船身至少应降低
，船才能通过桥洞.
变式2：据气象台预报：在城正东方300
的海面处有一台风中心，正以每小时40的速度向西北方向移动，在距台风中心250以内的地区将受其影响.从现在起经过约
，台风将影响城，持续时间约为 .(结果精确到0.1)
解：以为原点，正东方向所在直线为轴，建立直角坐标系，则台风中心的移动轨迹是
，受台风影响的区域边界的曲线方程是
.
依题意有
，解得
.
∴
.
∴从现在起经过约2.0，台风将影响城，持续时间约为6.6.
变式3：有一种商品，、两地均有出售，且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时，单位距离的运费地是地的3倍.已知、两地的距离是10，顾客购买这种商品选择地或地的标准是：包括运费在内的总费用比较便宜.求、两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出在曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地点.
解：以的中点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则
，
.设是售货区域分界线上的任意一点，单位距离的运费为元
，则
，∴
，化简得
.∴、两地售货区域的分界线是以
为圆心，
为半径的圆.因此在曲线内的居民选择去地购货，在曲线外的居民选择去地购货，在曲线上的居民去、两地购货均可.