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湖南省十二所重点中学2009年高三第二次联考数学试卷（文科）
总分：150分 时量：120分钟 2009年4月11日
联合命题
由
石门一中；澧县一中；郴州一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。下列各小题所给出的四个答案中只有一个是正确的）
1、已知集合则= （ ）
试题详情
A. B. C. D.
2、设条件；条件，则是的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3、 （ ）
A、 B、- C、 D、-
4、已知直线、,平面，则下列命题中假命题是 ( )
A．若，,则 B．若，,则
C．若，,则 D．若，,,,则
5、 （ ）
A、 B、 C、 D、
6、若不等式组，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D. 或
7、 （ ）
8、对于区间上有意义的两个函数与，如果对于区间中的任意数均有，则称函数与在区间上是密切函数，称为密切区间.若与在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是（ ）
二、填空题：（本大题7小题，每小题5分，共35分）
9、
10、某人5次下班途中所花的时间（单位：分钟）分别为m，n，5，6，4。已知这组数据的平均数为5，方差为2，则?m－n?的值为 . 4
11、
――――――
12、已知数列{an}的前三项依次是－2，2，6，前n项和Sn是n的二次函数，则a100＝_______
13、将有编号的7个球全部投入到甲、乙两个盒子中，每个盒子中至少投入2个球，那么不同的投入方法有
（用数字作答）
14、已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离是球直径的，且则该球的表面积为 .
其中正确命题的序号是____________ (把你认为正确的都填上)
三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程.）
17、（本小题满分12分）
某高等学校自愿献血的50位学生的血型分布的情况如下表：
血型
A
B
AB
O
人数
20
10
5
15
（Ⅰ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型都为A型的概率；
（Ⅱ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型相同的概率；
18、（本小题满分12分）
如图，已知在直四棱柱中，，
，．
（I）求证：平面；
（II）求二面角的余弦值．
19、(本小题满分13分)
对于数列定义数列为的“和数列”
（1）若的“和数列”的通项为2n+1，，求，并写出的通项公式。（不必证明）
（2）若的“和数列”的通项为，数列满足，求
21、 (本小题满分13分)
设函数 （＞0）
（Ⅰ）若在时，有极值，求的单调区间。
（Ⅱ）证明：的图像上存在着与直线垂直的切线。
（Ⅲ）若在处取得极值，且，求b的取值范围。
湖南省2009届高三 十二校联考 第二次考试
数学试卷（文科）
三、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。下列各小题所给出的四个答案中只有一个是正确的）
1、已知集合则= （ B ）
2、设条件；条件，则是的 （ A ）
3、 （ D ）
4、已知直线、,平面，则下列命题中假命题是 ( C )
5、 （ B ）
6、若不等式组，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是 （ D ）
7、 （ C ）
8、对于区间上有意义的两个函数与，如果对于区间中的任意数均有，则称函数与在区间上是密切函数，称为密切区间.若与在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是（ C ）
四、填空题：（本大题7小题，每小题5分，共35分）
12、已知数列{an}的前三项依次是－2，2，6，前n项和Sn是n的二次函数，则a100＝_______ 394
（用数字作答） 112
其中正确命题的序号是____________ (把你认为正确的都填上) ②③
…………………….3分
…………………….6分
……………………10分
……………………12分
解：（Ⅰ）记“这2人血型都为A型”为事件A，那么，
即这2人血型都为A型的概率是． ┅┅┅┅6分
（Ⅱ）记“这2人血型相同”为事件B，那么，
所以这2人血型相同的概率是． ┅┅┅┅12分
解法一：
（I）设是的中点，连结，则四边形为正方形，
．故，，，，即． ………3分
又， ………4分
平面， ………5分
（II）由（I）知平面，
又平面，，
取的中点, 连结，又，则．
取的中点，连结，则,.
为二面角的平面角． ……….8分
连结，在中，，，
取的中点，连结，，
在中，，，． ……….10分
．
二面角的余弦值为． ………..12分
解法二：
（I）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，,. ………..2分
，, ………..3分
又因为 所以，平面. ………..5分
（II）设为平面的一个法向量．
由，，
得 取，则． ………..7分
又，，设为平面的一个法向量，
由，，得取，则， ………..9分
设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，
, ………..12分
解：（1）依题意有：
，令，求得 ………………………………2分
…………………………………………………………5分
（2）由已知得
……………… ………………7分
………………8分
即 代入得
………………10分
又 是以1为首项，-2为公比的等比数列。
………………13分
解：
………………2分
又 ………………4分
………………5分
（2）
………………7分
() ………………8分
= ………………11分
,
解：（Ⅰ）
由题意可知 即 …………………………1分
解得 舍去） ………………………………………2分
此时，
令＞0得＞1或＜1
＜0得 1＜＜1 …………………………………………3分
所以的递增区间为（∞，1）、（1，+∞）
递减区间为（1，1） ………………………………………4分
（Ⅱ）证明：①当时，直线，则图像上与垂直的切线斜率为0.
令＞0恒成立，方程有解。 ……………………5分
②当时，直线的斜率为，则与垂直的切线斜率为
令即
＞0恒成立，方程有解。
综上所述：的图像上存在着与垂直的直线。 ……………………7分
（Ⅲ）由题意可知，为的两根
从而 ………………………………………………9分
由得 0＜ ………………………………………………………………10分
设
令则 ……………………………………………………………11分
故在递增，递减， 从而在上的极大值为
即最大值为，且最小值为0，则
所以b的取值范围为 ………………………………………………13分
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数学试卷（文科）总分：150分 时量：120分钟
选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。下列各小题所给出的四个答案中只有一个是正确的）
1、已知集合
则
=
（ ）
A.
B. 
C.
D. 
；条件
，则
是
的
（
）
（
）
B、-
D、-
、
,平面
，则下列命题中假命题是
( )
，
,则
B．若
,则
，
,则
D．若
，
,
,则
（ ）
B、
C、
D、
，表示的平面区域是一个三角形区域，则
的取值范围是 （ ）
B. 
C.
D.
（ ）
B、
C、
D、
上有意义的两个函数
与
，如果对于区间
均有
，则称函数
与
在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是（ ）
B. 
C.
D.
填空题：（本大题7小题，每小题5分，共35分）
，且
则该球的表面积为
.
中，
，
，
．
平面
；
的余弦值．
定义数列
为
的“和数列”
，求
，并写出
，数列
满足
，求
（
在
时，有极值
，求
垂直的切线。
处取得极值，且
，求b的取值范围。
…………………….3分
…………………….6分
……………………10分
……………………12分
，
．
┅┅┅┅6分
，
．
┅┅┅┅12分
是
的中点，连结
，则四边形
为正方形，
．故
，
，
，
，即
． ………3分
，
………4分
平面
，
………5分
平面
，
的中点
, 连结
，又
，则
．
的中点
，连结
，则
,
.
为二面角
，在
中，
，
，
的中点
，连结
，
，
中，
，
，
．
……….10分
．
二面角
．
………..12分
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
,
.
………..2分
，
,
………..3分
为平面
的一个法向量．
，
，
取
，则
．
………..7分
，
为平面
的一个法向量，
，
，得
取
，则
，
………..9分
与
的夹角为
，二面角
，显然
,
………..12分
，令
，求得
………………………………2分
…………………………………………………………5分
………………
………………7分
………………8分
代入
………………10分
是以1为首项，-2为公比的等比数列。
………………13分
………………2分
………………4分
………………5分
………………7分
(
)
………………8分
………………11分
,
………………13分
即
…………………………1分
舍去）
………………………………………2分
＞0得
1
时，直线
，则
＞0恒成立，方程有解。
……………………5分
时，直线
，则与
即
＞0恒成立，方程有解。
为
的两根
………………8分
………………………………………………9分
得 0＜
………………………………………………………………10分
则
……………………………………………………………11分
在
递增，
递减， 从而
上的极大值为
，且最小值为0，则
………………………………………………13分