大连市2009年高三年级第一次模拟考试数学试题说明: 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.满分150分.考试时间120分钟. 2．将I卷和II卷的答案都写在答题纸上.在试卷上答题无效. 参考——青夏教育精英家教网——

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试题

大连市2009年高三年级第一次模拟考试

数学试题（理科）

说明：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟。

2．将I卷和II卷的答案都写在答题纸上，在试卷上答题无效。

参考公式：

半径为R的球的体积公式：；

用最小二乘法求线性回归方程系数公式：

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集为（）

A． B． C． D．

2．采用系统抽样方法从编号为1～50的50名同学中选取5名同学做一个问卷调查，则确定所选取的5个同学的编号可能是（）

A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43

C．1，2，3，4，5 D．2，4，8，16，22

3．已知等比数列的公比为2，且，则的值为

A．10 B．15 C．20 D．25

4．二项式展开的第三项的虚部为（）

A．45 B．-45 C．0 D．

5．若的值为（）

A． B． C． D．

6．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是4，动点（x，y）在该区域内，则的最小值为（）

A．6 B．-2 C．0 D．-4

7．已知正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁如图所示，则直线B₁D和CD₁所成的角为（）

A．60 B．45° C．30° D．90°

A．一个点

B．两个点

C．线段

D．直线

9．若椭圆的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线的焦点坐标为（）

A． B． C． D．

10．用四种不同颜色给一个三棱锥的六条棱涂色，其中该三棱锥的六条棱互不相等，只有异面的两条棱才能涂同色，且四种颜色可以不都用，则不同的涂色方案有（）

A．48种 B．72种 C．96种 D．120种

A．

B．

C．

D．

12．已知函数处的切线为，则直线、曲线以及直线所围成的区域的面积为（）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13．已知°，则的度数为．

为．

15．已知x、y的取值如下表：

x

2

3

4

5

y

2.2

3.8

5.5

6.5

从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程

为为．

16．右图是求数列前10项中最大项的程序框图，

①，②处分别应该填上， .

三、解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

一台仪器每启动一次出现一个6位的二进制数恒为1，之间出现1或0是相互独立的，且，出现0的概率为，当启动仪器一次时。

（I）求的概率；

（II）求X的期望。

[注：]

18．（本小题满分12分）

已知三棱锥A―BCD及其三视图如图所示。

（I）若平面DEF；

（Ⅱ）求二面角B―AC―D的大小。

19．（本小题满分12分）

平面内动点

（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；

（Ⅱ）设直线：分别交x、y轴于点A、B，交曲线E于点C、D，且

①求k的值；

②若点，求△NCD面积取得最大时直线的方程.

20．（本小题满分12分）

已知两数列且

（I）求证：

（II）求证：数列

21．（本小题满分12分）

已知函数，函数在定义域内是增函数，且义域内存在零点（的导函数）。

（I）求a的值；

（II）设的图象上两点，，试比较的大小，并说明理由。

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）

选修4-1：几何证明选讲

（I）求证：EF//BC；

（II）求证：DF²=AF?BE。

23．（本小题满分10分）

选修4-4：坐标系与参数方程

直线（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同）。

（I）求圆心C到直线的距离；

（II）若直线被圆C截的弦长为的值。

24．（本小题满分10分）

选修4-5：不等式选讲

设函数

求证：

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

A

C

A

B

D

B

D

C

A

C

二、填空题

13．30° 14． 15．-0.61 16．

三、解答题

17．解：（I）

即中出现3个1，2个0 2分

所以 6分

（II）（法一）设Y=X-1，

由题知 9分

所以 12分

（法二）X的分布列如下：

X

1

2

3

4

P（X）

X

5

6

P（X）

……10服

所以…………12分

18．解：（I）由三视图可得，三棱锥A―BCD中

都等于90°，

每个面都是直角三角形；

可得面ADB，所以……2分

又，所以面ABC，

所以DEAC， 4分

又DFAC，所以AC面DEF。 6分

（II）方法一：由（I）知为二面角B―AC―D的平面角， 9分

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12分

方法二：过B作CD于O，

过O作OMAC于M，连结BM，

因为AD面BDC，所以ADC面BDC。

所以BO面ADC，

由三垂线定理可得为二面角B―AC―D的平面角， 9分

可求得

所以，

所以 12分

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方法三：如图，以DB为x轴，

过D作BC的不行线这y轴，DA为z轴建立空间直角坐标系。

所以 8分

设面DAC的一个法向量为，

则

则

设面BAC的一个法向量为，

则

则 10分

所以，

因为二面角B―AC―D为锐角，

所以二面角B―AC―D的大小为 12分

19．解：（Ⅰ）设动点M的坐标为

，

即………………2分

（Ⅱ）①在中分别令

……………3分

设，

由

………………4分

，

所以

即

………………6分

②

……………7分

点N到CD的距离……………8分

…………………9分

当且仅当时等号成立，

即，此时，

所以直线的方程为…………………12分

20．证明：（I）先证

法一：

法二：①；

②假设时命题成立，

即

所以时命题也成立。

综合①②可得 2分

再证

①；

②假设时命题成立，即，

则

所以时命题也成立。

综合①②可得 6分

（II）

故数列单调递减 9分

又

即 12分

21．解：（I）因为，所以

方法一： 2分

因为上是增函数，

所以上恒成立，

即上恒成立，

所以 4分

又存在正零点，

故。

即

所以 6分

方法二： 2分

因为上是增函数，

所以上恒成立，

若，

于是恒成立。

又存在正零点，

故

与

即矛盾，

所以 4分

由恒成立，

又存在正零点，

故

所以即 6分

（II）结论理由如下：

由（I），

所以 7分

方法一：

8分

令

上，

所以上为增函数 10分

当

即

从而得到证明。 12分

方法二：

，

8分

令，

作函数

令

当 10分

，

所以当，

即

所以 12分

22．证明：（I）⊙O切BC于D，

2分

的角平分线，

又

4分

（II）连结DE，

⊙O切BC于D，

5分

由（I）可得

又⊙O内接四边形AEDF，

∽

分

又

10分

23．解：（I）把化为普通方程为

2分

把化为直角坐标系中的方程为

4分

圆心到直线的距离为 6分

（II）由已知 8分

10分

24．证明：法一：

5分

10

法二：

5分

10分

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