1．函数是

A．周期为的奇函数                    B．周期为的偶函数

C．周期为的奇函数                   D．周期为的偶函数     

2．已知物体的运动方程为（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为

A．              B．             C．                  D．

3．已知，那么

A．－2                B．2                     C．－12                          D．12

4．已知在等差数列｛｝中,若，则n的最小值为

A．60             B．62                C．70              D．72

5．中，若，则的外接圆半径为

A．            B．           C．            D．

6．若实数满足条件, 目标函数，则

A．                                          B．      

C．                                  D．

7．底面是矩形的四棱柱中，，，，则

A．              B．               C．                     D．

8．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（      ） 种。

A．24             B．28             C．36              D．48

第II卷（非选择题共110分）

9．若数据的平均数=5，方差，则数据

的平均数为       （2分），方差为       （3分）。

10．直线与抛物线所围成图形的面积为             .

11．若，则=           .

12．已知函数满足，，则=         .

13．以下有四种说法：

（1）若为真，为假，则与必为一真一假；

（2）若数列的前项和为 ，则；  

（3）若，则在处取得极值；

（4）由变量x和y的数据得到其回归直线方程，则一定经过点.

以上四种说法，其中正确说法的序号为              ．

14．为迎接校庆，学校准备投入a元建造一个花圃（如图）．已知矩形ABCD的造价为40元/，其余的两个半圆及两个圆的造价为20元/．两圆的直径分别为矩形的长和宽，由于矩形ABCD要种名贵花卉，故建造时要求矩形ABCD的面积越大越好．那么，当矩形ABCD的面积达到最大时，     

15. （本题满分12分）

已知向量, , .

（Ⅰ）求的值;  

（Ⅱ）若, , 且, 求.

16. （本题满分12分）已知数列是首项为，公比的等比数列，设，数列.

（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和S_n.

17．（本小题满分14分）已知10件产品中有3件是次品.

（I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；

（II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？

18. （本题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

       （I）求证：平面BCD；

       （II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；

       （III）求点E到平面ACD的距离．

19. （本题满分14分）已知，，

（1）若f(x)在处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；

（2）如右图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在使得？（用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）

（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.

20. （本题满分14分）已知函数.

（1）若使,求实数的取值范围;

（2）设,且在上单调递增,求实数的取值范围.

中山市高三级2008―2009学年度第一学期期末统一考试

数学科试卷（理科）答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

D

D

B

A

C

C

D

9． 16 （2分），18 （3分） 10．    11．    

12．    13． （1） （4）   14．   

15. （本题满分12分）

已知向量, , .

（Ⅰ）求的值;  

（Ⅱ）若, , 且, 求.

解：（Ⅰ）, , 

. ……………2分

 , , ………3分

即   , ………5分   . ……………6分

（Ⅱ）,   ……………7分

, ，  ……………9分  . ……………12分

16. （本题满分12分）已知数列是首项为，公比的等比数列，，

设，数列.

（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和S_n.

解（1）由题意知， ，……………2分

又，

故 ……………4分

（2）由（1）知，  

……………6分

……7分

于是

…………………………9分

两式相减，得

…………………………12分

……………12分

17．（本小题满分14分）已知10件产品中有3件是次品.

（I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；

（II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？

解：（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为…………3分

故至少有一件是次品的概率为1-7/24=17/24……………………6分

（2）设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为………8分

由……………9分

整理得：，……………………11分

   ∴当n=9或n=10时上式成立.…………13分

答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为17/24，为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.………………14分

18. （本题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

       （I）求证：平面BCD；

       （II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；

       （III）求点E到平面ACD的距离．

解：方法一：

       （I）证明：连结OC

       ………1分

       在中，由已知可得

       而   

       即……………3分

        又

      平面……………5分

       （II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

       直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。……………6分

        在中，

       ……………7分

       是直角斜边AC上的中线，

     ……………8分

       异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；……………9分

       （III）解：设点E到平面ACD的距离为

              ……………11分

在中，

         ……………12分

而……………13分

点E到平面ACD的距离为……………14分

       方法二：

       （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则………………6分

       …………7分

………9分

异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；……………10分

       （III）解：设平面ACD的法向量为则      

……………11分

       令得是平面ACD的一个法向量．……………12分

       又 点E到平面ACD的距离

……………14分

19. （本题满分14分）已知，，

（1）若f(x)在处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；

（2）如右图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在使得？（用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）

（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.

解：（1），………1分

依题意，有，即  ．……………2分

，．

令得，……………4分

从而f(x)的单调增区间为：；……………5分

（2）；……………8分

（3），…………9分

……………10分

………12分

由（2）知，对于函数y=g(x)图象上任意两点A、B，在A、B之间一定存在一点,使得，又，故有，证毕．………14分

20. （本题满分14分）已知函数.

（1）若使,求实数的取值范围;

（2）设,且在上单调递增,求实数的取值范围.

解：（1）由,，得,，……………1分

所以，……………3分

；……………4分

（2）由题设得，……………5分

对称轴方程为，。……………7分

由于在上单调递增，则有

(Ⅰ)当即时,有

。……………9分

(Ⅱ)当即时，

设方程的根为，

①     若,则，有

解得；……………11分

②若,即，有；

。……………13分

由①②得 。

综合(Ⅰ)， (Ⅱ)有  ．……………14分