5.已知数列{a_n}中,a₃=2,a₇=1,又数列{}是等差数列,则a₁₁等于(　　 )

A.0　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.-1

[答案]B

[解析]∵+(7-3)d,

∴d=.

∴+(11-3)d=,

a₁₁=.

4.等差数列{a_n}的公差为d,前n项的和为S_n,当首项a₁和d变化时,a₂+a₈+a₁₁是一个定值,则下列各数中也为定值的是(　　 )

A.S₇ B.S₈ C.S₁₃ D.S₁₅

[答案]C

[解析]因a₂+a₈+a₁₁=3a₇,故a₇为定值.

又S₁₃==13a₇,

∴选C.

3.等差数列{a_n}中，若a₁+a₄+a₇=39,a₃+a₆+a₉=27，则前9项的和S₉等于(　　 )

A.66　　　　　　　　　　 B.99　　　　　　　　 C.144　　　　　　　　 D.297

[答案]B

[解析]a₁+a₄+a₇=39a₄=13,a₃+a₆+a₉=27a₆=9，

S₉==99.

2.给出下列等式：(ⅰ)a_n+1-a_n=p(p为常数);(ⅱ)2a_n+1=a_n+a_n+2(n∈N^*);(ⅲ)a_n=kn+b(k,b为常数)则无穷数列{a_n}为等差数列的充要条件是(　　 )

A.(ⅰ)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(ⅰ)(ⅲ)

C.(ⅰ)(ⅱ)　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)

[答案]D

[解析]易知三个都是，另外还有一个常见的是{a_n}的前n项和S_n=an²+bn，(a,b为常数).

1.等差数列{a_n}前四项和为40，末四项和为72，所有项和为140，则该数列共有(　　 )

A.9项　　　　　　　　 B.12项　　　　　　　　 C.10项　　　　　　　　　 D.13项

[答案]C

[解析]∵a₁+a₂+a₃+a₄=40,

a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-3=72.

∴a₁+a_n==28.

又=140,

故n=10.

14.(2010湖北黄冈中学模拟，22) 已知函数f(x)=,x∈(0,+∞),数列{x_n}满足x_n+1=f(x_n),(n=1,2,…),且x₁=1.

(1)设a_n=|x_n-|,证明：a_n+1＜a_n;

(2)设(1)中的数列{a_n}的前n项和为S_n，证明：S_n＜.

证明：(1)a_n+1=|x_n+1-|=|f(x_n)-|=.

∵x_n＞0,

∴a_n+1＜(-1)|x_n-|＜|x_n-|=a_n,

故a_n+1＜a_n.

(2)由(1)的证明过程可知

a_n+1＜(-1)|x_n-|

＜(-1)²|x_n-1-|

＜…＜(-1)ⁿ|x₁-|=(-1)ⁿ⁺¹

∴S_n=a₁+a₂+…+a_n＜|x₁-|+(-1)²+…+(-1)ⁿ

=(-1)+(-1)²+…+(-1)ⁿ

=［1-(-1)ⁿ］＜.

13.在等比数列{a_n}中,a₁+a₃=10,a₂+a₄=20,设c_n=11-log₂a_2n.

(1)求数列{c_n}的前n项和S_n.

(2)是否存在n∈N^*,使得成立？请说明理由.

[解析](1)由已知得

∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ.

∴c_n=11-log₂a_2n=11-log₂2²ⁿ

=11-2n.

S_n=c₁+c₂+…+c_n==-n²+10n.

(2)假设存在n∈N^*,使得即.

∴2²ⁿ+3×2ⁿ-3＜0,解得.

∵=1,而2ⁿ≥2,

故不存在n∈N^*满足.

12.已知数列{a_n}:a₁,a₂,a₃,…,a_n,…,构造一个新数列：a₁,(a₂-a₁),(a₃-a₂),…,(a_n-a_n-1),…此数列是首项为1，公比为的等比数列.

(1)求数列{a_n}的通项；

(2)求数列{a_n}的前n项和S_n.

[解析](1)由已知得a_n-a_n-1=()^n-1(n≥2),a=1,

a_n=a₁+(a₂-a₁)+(a₃-a₂)+…+(a_n-a_n-1)

=［1-()ⁿ］.

(2)S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n

=-［+()²+…+()ⁿ］

=-［1-()ⁿ］

=×()ⁿ.

11.等比数列{a_n}的公比为q，作数列{b_n}使b_n=,

(1)求证数列{b_n}也是等比数列；

(2)已知q＞1,a₁=,问n为何值时，数列{a_n}的前n项和S_n大于数列{b_n}的前n项和S_n′.

(1)证明：∵=q,

∴为常数，则{b_n}是等比数列.

(2)[解析]S_n=a₁+a₂+…+a_n

=,

S_n′=b₁+b₂+…+b_n

=,

当S_n＞S_n′时，

.

又q＞1,则q-1＞0,qⁿ-1＞0,

∴,即qⁿ＞q⁷,

∴n＞7,即n＞7(n∈N^*)时，S_n＞S_n′.

10.给出下列五个命题，其中不正确的命题的序号是_______________.

①若a,b,c成等比数列，则b=　 ②若a,b,c成等比数列，则ma,mb,mc(m为常数)也成等比数列　 ③若{a_n}的通项a_n=c(b-1)b^n-1(bc≠0且b≠1),则{a_n}是等比数列　 ④若{a_n}的前n项和S_n=apⁿ(a,p均为非零常数)，则{a_n}是等比数列　 ⑤若{a_n}是等比数列，则a_n,a_2n,a_3n也是等比数列

[答案]②④

[解析]②中m=0,ma,mb,mc不成等比数列；

④中a₁=ap,a₂=ap(p-1),a₃=ap²(p-1),,故②④不正确，①③⑤均可用定义法判断正确.