5．(原创题)如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)≥M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．

①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝e^x；④f(x)＝

解析：∵sinx≥－1，∴f(x)＝sinx的下确界为－1，即f(x)＝sinx是有下确界的函数；∵f(x)＝lgx的值域为(－∞，+∞)，∴f(x)＝lgx没有下确界；∴f(x)＝e^x的值域为(0，+∞)，∴f(x)＝e^x的下确界为0，即f(x)＝e^x是有下确界的函数；

∵f(x)＝的下确界为－1.∴f(x)＝是有下确界的函数．答案：①③④

4．已知函数f(x)＝|e^x+|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围__．

解析：当a<0，且e^x+≥0时，只需满足e⁰+≥0即可，则－1≤a<0；当a＝0时，f(x)＝|e^x|＝e^x符合题意；当a>0时，f(x)＝e^x+，则满足f′(x)＝e^x－≥0在x∈[0,1]上恒成立．只需满足a≤(e^2x)_min成立即可，故a≤1，综上－1≤a≤1.

答案：－1≤a≤1

3．函数y＝+ 的值域是________．

解析：令x＝4+sin²α，α∈[0，]，y＝sinα+cosα＝2sin(α+)，∴1≤y≤2.

答案：[1,2]

2．函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f(log_ax)(0<a<1)的单调减区间是________．

解析：∵0<a<1，y＝log_ax为减函数，∴log_ax∈[0，]时，g(x)为减函数．

由0≤log_ax≤?≤x≤1.答案：[，1](或(，1))

1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中，满足“对任意x₁，x₂∈(0，+∞)，当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)”的是________．

①f(x)＝　②f(x)＝(x－1)² ③f(x)＝e^x　④f(x)＝ln(x+1)

解析：∵对任意的x₁，x₂∈(0，+∞)，当x₁<x₂时，都有f(x₁)>f(x₂)，∴f(x)在(0，+∞)上为减函数．答案：①

12．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)＝－f(x)．

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2010]上的所有x的个数．

解：(1)证明：∵f(x+2)＝－f(x)，∴f(x+4)＝－f(x+2)＝－[－f(x)]＝f(x)，

∴f(x)是以4为周期的周期函数．

(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，

设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝(－x)＝－x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.故f(x)＝x(－1≤x≤1)

又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝(x－2)，

又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f[(－x)+2]＝－[－f(－x)]＝－f(x)，∴－f(x)＝(x－2)，∴f(x)＝－(x－2)(1<x<3)．∴f(x)＝

由f(x)＝－，解得x＝－1.∵f(x)是以4为周期的周期函数．故f(x)＝－的所有x＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2010，则≤n≤502，又∵n∈Z，∴1≤n≤502(n∈Z)，∴在[0,2010]上共有502个x使f(x)＝－.

11．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x+y)＝f(x)+f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果x∈R⁺，f(x)<0，并且f(1)＝－，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．

解：(1)证明：∴函数定义域为R，其定义域关于原点对称．

∵f(x+y)＝f(x)+f(y)，令y＝－x，∴f(0)＝f(x)+f(－x)．令x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)+f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)+f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

(2)法一：设x，y∈R⁺，∵f(x+y)＝f(x)+f(y)，∴f(x+y)－f(x)＝f(y)．

∵x∈R⁺，f(x)<0，∴f(x+y)－f(x)<0，∴f(x+y)<f(x)．∵x+y>x，∴f(x)在(0，+∞)上是减函数．又∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，+∞)上是减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)+f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.

法二：设x₁<x₂，且x₁，x₂∈R.则f(x₂－x₁)＝f[x₂+(－x₁)]＝f(x₂)+f(－x₁)＝f(x₂)－f(x₁)．∵x₂－x₁>0，∴f(x₂－x₁)<0.∴f(x₂)－f(x₁)<0.即f(x)在R上单调递减．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)+f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.

10．已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式．

解：∵f(x)是奇函数，可得f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当x>0时，－x<0，由已知f(－x)＝xlg(2+x)，∴－f(x)＝xlg(2+x)，即f(x)＝－xlg(2+x)　(x>0)．

∴f(x)＝即f(x)＝－xlg(2+|x|)(x∈R)．

9．(2009年高考山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄＝________.

解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)，因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，不妨设x₁＜x₂＜x₃＜x₄.由对称性知x₁+x₂＝－12，x₃+x₄＝4，所以x₁+x₂+x₃+x₄＝－12+4＝－8. 答案：-8

8．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x+1)．若f(a)＝－2，则实数a＝________.

解析：当x≥0时，f(x)＝x(x+1)>0，由f(x)为奇函数知x<0时，f(x)<0，∴a<0，f(－a)＝2，∴－a(－a+1)＝2，∴a＝2(舍)或a＝－1.答案：－1