例2．高一(1)班学生期终考试成绩表明：(1)36人数学成绩不低于80分；(2)20人物理成绩不低于80分；(3)15人的人数学、物理成绩不低于80分.问：有多少人这两科成绩至少有一科不低于80分？

分析：利用Venn图表示数学、物理不低于80分的人数的直观图，实质上是求的元素的个数，从而利用方程的思想解出题中的问题.

解：设数学、物理不低于80分的人数的集合分别是A、B，并用二个圆分别表示，则重叠的部分表示同时不低于80分的人数的集合。则A有36个元素，B有20个元素，有15个元素，由定义知，的元素有三部分：

(1)　　　 属于A但不属于B的元素有(36-15)个；

(2)　　　 属于B但不属于A的元素有(20-15)个；

(3)　　　 属于A，B的公共元素有15个；

故的有(36-15)+(20-15)+15=41(个元素).

评：先转化为集合语言，再用Venn图的直观性是解决实际问题中交、并集有关知识的重要手段。

例3．设，函数，求使(1)的实数a的取值范围。(2)使的实数a的值.

分析：交、并集有如下性质：①若，则②若，则等

解：(1)由 ，得，∵，故：①当时，，解得；②当或时，解得，此时，满足；③当时当，解得

综上所述，实数a的取值范围是或

(2)由，得，∵，故，即，解得

评：利用交、并集的性质，把交、并集的运算转化为集合与集合之间的子集关系的运算。

例1．已知集合，，求，

分析：利用数行结合的思想，将满足条件的集合在数轴上一一表示出来，从而求集合的交集与并集。

解：利用数轴工具，画出集合A、B的示意图。如图：即可以得到，

例2．(06江苏高考)设A，B，C为三个集合，。则一定有：(A) (B) 　(C)　 　(D)

解：根据交、并集的定义与Venn图，选择A

评：这种利用数轴或Venn图等数形结合的方式，既简单又直观，是解决这类问题的基本方法。

19．(本小题满分12分)

已知正方形，分别是边的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为()．

(1)证明平面；

(2)若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值．

(19)本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力.满分12分

(Ⅰ)证明：、分别是正方形的边、的中点.

且

四边形是平行四边形

平面而平面

平面

(Ⅱ)解法一：点在平面内的射影在直线上，过点用平面垂足为连接

为正三角形

在的垂直平分线上。

又是的垂直平分线

点在平面内的射影在直线上

过作，垂足为，连接则

是二面角的平面角，即

设原正方形的边长为，连接，

在折后图的中，

为直角三角形，

在中，

解法二：点在平面内的射影在直线上，连结，在平面内过点作，垂足为

为正三角形，为的中点，

又

平面

平面

又，且，平面，平面，

平面，

为在平面内的射影。

点在平面内的射影在直线上

过作，垂足为，连结，则，

是二面角的平面角，即

设原正方形的边长为。

在折后图的中，，

为直角三角形，，

，

在中，，

，

解法三：点在平面内的射影在直线上连结，在平面内过点作，垂足为

为正三角形，为的中点

又

平面，

平面，

平面平面

又平面平面，

平面，即为在平面内的射影，

点在平面内的射影在直线上。

过作，垂足为，连结，则

是二面角的平面角，即

设原正方形的边长为

在折后图的中，.

为直角三角形，.

.

在中，,

,

,

.············12分

9．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为　　 (　　 )

A．　　　　 B．　　　　 C．　　　 D．

2006山东理科

(12)如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为

(A)　　 (B)　　　 (C)　　　　　 (D)

2006辽宁

12．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．90

2005年高考文科数学江西卷

17、(本题满分12分)

　如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO₁折成直二面角，如图2。

　(Ⅰ)证明：AC⊥BO₁；

(Ⅱ)求二面角O－AC－O₁的大小。

解法二(I)证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，

　 　 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

　　　　 即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO₁，

　　　　 OC是AC在面OBCO₁内的射影.

　　　　 因为　　 ，

　　　　 所以∠OO₁B=60°，∠O₁OC=30°，从而OC⊥BO₁

　　　　 由三垂线定理得AC⊥BO₁.

(II)解 由(I)AC⊥BO₁，OC⊥BO₁，知BO₁⊥平面AOC.

　　　　 设OC∩O₁B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O₁F(如图4)，则EF是O₁F在平面AOC

　　　　 内的射影，由三垂线定理得O₁F⊥AC.

　　　　 所以∠O₁FE是二面角O-AC-O₁的平面角.

　　　　 由题设知OA=3，OO₁=，O₁C=1，

　　　　 所以，

　　　　 从而，　　　　 又O₁E=OO₁·sin30°=，

　　　　 所以　 即二面角O-AC-O₁的大小是

2005浙江理科

11．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，

　 G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC

　 沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度

　 数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　　 A．90°　 B．60°　

　　　　 C．45°　 D．0°

2004安徽春季理科

(5)等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所处的二面角为30⁰，则四棱锥A－MNCB的体积为

(A)　　 (B)　　 (C)　　 (D)3

2005湖南高考理科

18．解：解法一：(I)因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．

(II)过点作于点，连结．

由(I)的结论可知，平面，

所以是和平面所成的角．

因为平面平面，平面平面，，

平面，所以平面，故．

因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形．由题设，，，则．所以，，

，．因为平面，，所以平面，从而．故，．

又，由得．

故．即直线与平面所成的角是．

解法二：(I)因为平面平面，平面平面，，

平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．

(II)由(I)可知，平面．故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图)，

由题设，，，则，

，，相关各点的坐标分别是，

，，．

所以，．

设是平面的一个法向量，

由得故可取．过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上．因为，所以，．

设()，由，解得，

所以．设和平面所成的角是，则

．故直线与平面所成的角是．

18．(2007高考湖南卷)

如图2，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平面平面，，且．连结，如图3．