2．若三点A(3,1)，B(－2, b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于(　)

A．2　 　 B．3　 　 C．9　 　 D．－9

一、选择题

1．若直线过点(1,2)，(4,2＋)则此直线的倾斜角是(　)

A．30°　　　　　　　　　　 B．45°

C．60°　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．90°

22.

21.

[答案] 22.(Ⅰ) 设{a_n}的前n项和为S_n,

当q=1时, S_n=a₁+a₁+…+a₁=na₁;

当q≠1时, S_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1, ①

qS_n=a₁q+a₁q²+…+a₁qⁿ, ②

①-②得, (1-q) S_n=a₁-a₁qⁿ,

∴S_n=, ∴S_n=

(Ⅱ) 假设{a_n+1}是等比数列, 则对任意的k∈N₊,

(a_k+1+1) ²=(a_k+1) (a_k+2+1),

+2a_k+1+1=a_ka_k+2+a_k+a_k+2+1,

q^2k+2a₁q^k=a₁q^k-1·a₁q^k+1+a₁q^k-1+a₁q^k+1,

∵a₁≠0, ∴2q^k=q^k-1+q^k+1.

∵q≠0, ∴q²-2q+1=0,

∴q=1, 这与已知矛盾.

∴假设不成立, 故{a_n+1}不是等比数列.

22.

答案和解析

理数

[答案] 1.C　

[解析] 1.　 因为为非零整数）故或，所以点的相关点有8个.

[答案] 2.D

[解析] 2.A不成立, 如[-π]=-4, -[π]=-3; B不成立, 如x=1.6时, [2x]=3,2[x]=2; C不成立, 如x=y=1.6, 则[x+y]=3, [x]+[y]=2. 由排除法知选D.

[答案] 3.A

[解析] 3.f ' (x) =3x²+2ax+b, 则x₁, x₂为f ' (x) =0的两不等根. 即3(f(x)) ²+2af(x) +b=0的解为f(x) =x₁或f(x) =x₂.

不妨设x₁< x₂, 则f(x) =x₁有两解, f(x) =x₂只有一解.

故原方程共有3个不同实根.

[答案] 4.B

[解析] 4.==…=, 即y=f(x) 的图象与y=kx的交点的坐标满足上述等式. 又交点至少要有两个, 至多有四个, 故n可取2,3, 4.

[答案] 5.　 8042

[解析] 5. 　依题意，，，

，，

，，

，，

…

所以，，

猜想，

所以.

[答案] 6.　 3　 4027

[解析] 6.　 因为是周期为6的周期数列，前6项为：1，1，2，3，1，0，

所以第2014=6×335+4项的值是3；因为每个周期内含有三个1，2014=3×671+1，

所以第2014个值为1的项的序号是6×671+1=4027.

[答案] 7.

[解析] 7.　 又已知不等式得到的推广结论，

得当时；当时；当时；…；由归纳推理可知，.

[答案] 8.　 ①③④

[解析] 8.　 由定义可知，，所以，故①正确，②错误；，所以其个位数为0，故③正确；，为奇数，因为任何奇数乘以5，各位都为5，所以的个位数为5，故④正确.

[答案] 9.　

[解析] 9.　 观察可得不等式左边的分母被开方数满足6－2、12－6成等差数列，不等式右边1,2, 3也成等差数列，所以第5个不等式为.

[答案] 10.　 （1）41；（2）2n²－2n＋1

[解析] 10.　 （1）

（2）

＝

[答案] 11.①④

[解析] 11.对①, 不妨设P为平面内任一点, ∴|PA|+|PB|≥|AB|=|AC|+|CB|. 故C是A, B, C的中位点. 对②, 设C是Rt△ABC的直角顶点, 斜边AB的中点为D. 于是|DA|+|DB|+|DC|=3|DC|. 但|CA|+|CB|≤·2=2|DC|< 3|DC|, 故D不是A, B, C的中位点. 对③, 不妨设A、B、C、D是顺次的四个点, P是平面内任一点, 点O为P在直线AB上的射影, ∴|PA|+|PB|+|PC|+|PD|≥|OA|+|OB|+|OC|+|OD|≥2|BC|+|CD|+|AB|. 由P的任意性知, 只要O点落在线段BC上即可, ③错. 对④, 设梯形ABCD的对角线AC, BD相交于O点, 由于|PA|+|PC|≥|AC|, |PB|+|PD|≥|BD|.

∴|PA|+|PC|+|PB|+|PD|≥|AC|+|BD|=|AO|+|OB|+|OC|+|OD|, 即O为该梯形四个顶点的唯一的中位点.

[答案] 12.1 000

[解析] 12.由N(n, 3) =n²+n,

N(n, 4) =n²+n,

N(n, 5) =+n,

N(n, 6) =n²+n,

推测N(n, k) =n²-n, k≥3.

从而N(n, 24) =11n²-10n, N(10,24) =1 000.

[答案] 13.1²-2²+3²-4²+…+(-1) ^n-1·n²=(-1) ^n-1·

[解析] 13.左边为平方项的(-1) ^n-1倍的和, 右边为(1+2+3+…+n) 的(-1) ^n-1倍. 再用数学归纳法证明成立.

[答案] 14.①②③⑤

[解析] 14.过A作AM∥PQ交DD₁或A₁D₁于M.

当0< CQ< 时, M在DD₁上, 连MQ, 则截面为AMQP, 故①正确.

当CQ=时, M与D₁重合, 截面为AD₁QP, 显然为等腰梯形, ②正确.

当CQ=时, M在A₁D₁上, 且D₁M=.

过M作MR∥AP交C₁D₁于R, 则△MD₁R∽△PBA, 从而D₁R=, 即C₁R=, 故③正确.

当< CQ< 1时, 截面为AMRQP, 为五边形, 即④错误.

当CQ=1时, M为A₁D₁的中点, 截面AMC₁P为菱形, 而AC₁=, PM=, 故面积为××=, ⑤正确.

[答案] 15.a_n=

[解析] 15.记△OA₁B₁的面积为S, 则△OA₂B₂的面积为4S.

从而四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积均为3S.

即得△OA_nB_n的面积为S+3(n-1) S=(3n-2) S.

∴=3n-2, 即a_n=.

[答案] 16.查看解析

[解析] 16.（Ⅰ）由条件得，

由此可得.

猜测. （4分）

用数学归纳法证明：

①当时，由上可得结论成立.

②假设当时，结论成立，即，

那么当时，

.

所以当时，结论也成立.

由①②，可知对一切正整数都成立. （7分）

（Ⅱ）因为.

当时，由（Ⅰ）知.

所以

.

综上所述，原不等式成立. (12分）

[答案] 17.查看解析

[解析] 17.（2）根据（1）的结论，当时，，即．

令，则有，　　　 ………………………7分

．即 ．…8分

(本问也可用数学归纳法证明.)

③当时，，设的两根分别为与，

则，，不妨设

当及时，，当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

而

所以时，，且

因此函数在有一个零点，而在上无零点；

此时函数只有一个零点；

综上，函数只有一个零点时，实数a的取值范围为R．………………………14分

[答案] 18.查看解析

[解析] 18.（Ⅰ）

若t＝0，f (x) ＝e^x－1＞0，不合题意；

若t＞0，只需f(x) _min≤0．

求导数，得f ′(x) ＝e^x－1－t．

令f ′(x) ＝0，解得x＝lnt＋1．

当x＜lnt＋1时，f ′(x) ＜0，∴f(x) 在(－∞，lnt＋1) 上是减函数；

当x＞lnt＋1时，f ′(x) ＞0，∴f(x) 在(lnt＋1，＋∞) 上是增函数．

故f(x) 在x＝lnt＋1处取得最小值f(lnt＋1) ＝t－t(lnt＋1) ＝－tlnt．

∴－tlnt≤0，由t＞0，得lnt≥0，∴t≥1．

综上可知，实数t的取值范围为(－∞，0) ∪[1，+∞) ．…………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），知f(x) ≥f(lnt＋1) ，即e^x－1－tx≥－tlnt．

取t＝1，e^x－1－x≥0，即x≤e^x－1．

当x＞0时，lnx≤x－1，当且仅当x＝1时，等号成立，

故当x＞0且x≠1时，有lnx＜x－1．

[答案] 19.查看解析

[解析] 19.　 （Ⅰ） ，

当时，，函数在上单调递增，

所以函数的单调递增区间为 ，　 （4分）

当时，由，得；由，得

所以函数的单调增区间为，单调减区间为　 ，　　 （6分）

　　 (Ⅱ) 因为是函数的两个零点，有

则，

两式相减得

即

所以 ，

又因为，当时，；当时，

故只要证即可，即证明 ,　 （10分）

即证明，

即证明，

设. 令，

则，因为，所以，当且仅当时，

所以在是增函数；又因为，所以当时，总成立.

所以原题得证.　　　　 (13分)

[答案] 20.　 2　

[解析] 20.　 ，而，，2，，

，，，，

，，，，，

，，，，，，，

，，，，

猜想.

[答案] 21.(Ⅰ) 当k=4时, 中有3个数与I₇中的3个数重复, 因此P₇中元素的个数为7×7-3=46.

(Ⅱ) 先证: 当n≥15时, P_n不能分成两个不相交的稀疏集的并. 若不然, 设A, B为不相交的稀疏集, 使A∪B=P_n⊇I_n. 不妨设1∈A, 则因1+3=2², 故3∉A, 即3∈B. 同理6∈A, 10∈B, 又推得15∈A, 但1+15=4², 这与A为稀疏集矛盾.

再证P₁₄符合要求. 当k=1时, =I₁₄可分成两个稀疏集之并, 事实上, 只要取A₁={1,2, 4,6, 9,11, 13}, B₁={3,5, 7,8, 10,12, 14}, 则A₁, B₁为稀疏集, 且A₁∪B₁=I₁₄.

当k=4时, 集中除整数外剩下的数组成集, 可分解为下面两稀疏集的并: A₂=, B₂= .

当k=9时, 集中除正整数外剩下的数组成集 , 可分解为下面两稀疏集的并:

A₃=, B₃= .

最后, 集C=中的数的分母均为无理数, 它与P₁₄中的任何其他数之和都不是整数, 因此, 令A=A₁∪A₂∪A₃∪C, B=B₁∪B₂∪B₃. 则A和B是不相交的稀疏集, 且A∪B=P₁₄.

综上, 所求n的最大值为14.

注: 对P₁₄的分拆方法不是唯一的.

22.（2013陕西，17,12分）设{a_n}是公比为q的等比数列.

(Ⅰ) 推导{a_n}的前n项和公式;

(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列{a_n+1}不是等比数列.

21.

21.（2013重庆，22,12分）对正整数n, 记I_n={1,2, …, n}, P_n=.

(Ⅰ) 求集合P₇中元素的个数;

(Ⅱ) 若P_n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方, 则称A为“稀疏集”. 求n的最大值, 使P_n能分成两个不相交的稀疏集的并.

20. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 若数列满足：对任意，只有有限个正整数m使得成立，记这样的m的个数为，则得到一个新数列. 例如，若数列是1，2，3……，n……，则数列是0，1，2，……，n-1……. 已知对任意的，a_n=n²，则=　　　 ，= 　　　　 .

[解析] 20.　 ，而，，2，，

，，，，

，，，，，

，，，，，，，

，，，，

猜想.

19. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），21) 设函数.

　　 （Ⅰ）求函数的单调区间

　　 (Ⅱ) 若函数有两个零点，，且，求证：

[解析] 19.　 （Ⅰ） ，

当时，，函数在上单调递增，

所以函数的单调递增区间为 ，　 （4分）

当时，由，得；由，得

所以函数的单调增区间为，单调减区间为　 ，　　 （6分）

　　 (Ⅱ) 因为是函数的两个零点，有

则，

两式相减得

即

所以 ，

又因为，当时，；当时，

故只要证即可，即证明 ,　 （10分）

即证明，

即证明，

设. 令，

则，因为，所以，当且仅当时，

所以在是增函数；又因为，所以当时，总成立.

所以原题得证.　　　　 (13分)