21.解：(Ⅰ)设、两点的横坐标分别为、，

　，　 切线的方程为：，

又切线过点， 有，

即，　 ………………………………………………(1)　 …… 2分

同理，由切线也过点，得．…………(2)

由(1)、(2)，可得是方程的两根，

　 ………………( * )　　　　　　 ……………………… 4分

　　　　　 ，

把( * )式代入,得,

因此，函数的表达式为．　 ……………………5分

(Ⅱ)当点、与共线时，，＝，

即＝，化简，得，

，．　　　 ………………(3)　　 …………… 7分

把(*)式代入(3)，解得．

存在，使得点、与三点共线，且 ．　　　 ……………………9分

(Ⅲ)解法：易知在区间上为增函数，

，

则．

依题意，不等式对一切的正整数恒成立，　 …………11分

，

即对一切的正整数恒成立，．

， ，

．

由于为正整数，．　　　　　　　　　 ……………………………13分

又当时，存在，，对所有的满足条件．

因此，的最大值为．　　　　　　　　　　　 ……………………………14分

解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值．

，长度最小的区间为，　　　　　 …………………11分

当时，与解法相同分析，得，

解得．　　　　　　　　　　　　　

后面解题步骤与解法相同(略)．　 ……………………………14分

20.解：(Ⅰ)如图，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系

则，，，　　　　　　　　　　　 ………2分

设椭圆方程为

则

解得………………4分

∴所求椭圆方程为　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………5分

(Ⅱ)由得点的坐标为

显然直线 与轴平行时满足题意，即　　　　　　　　　　　　 …………6分

直线 与轴垂直时不满足题意

不妨设直线 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………7分

由　　 得　 ………9分

由 　得 ………10分

设，,的中点为

则，　　　　　　 ………11分

∵

∴

∴　　 即

解得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………12分

由 　得　 　且 …………13分

故直线 与夹角的正切值的取值范围是　　　 ……………14分

19.解：(Ⅰ)用函数来描述A饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适。3分

因为函数，，在其定义域内都是单调函数，不具备先递增后递减的特征。-----------------------------------------------------5分

(Ⅱ)依题意知，函数过点(1，2)和(4，5)，则有，解得，

∴ ()--------------------------8分

∵＝

∴在各地区中，年人均A饮料销量最多为升。----------------10分

(Ⅲ)依题意知当或时

　 ∵函数在上为增函数，∴

∵函数在上为减函数，∴

当时，

∵，∴在各地区中，年人均A饮料销量最多为升。------------14分

18．解：(Ⅰ)解法一：，，

由已知，　　　　　　　　　　　　 …………………………4分

得：，

， 的公比.　 　　　…………………………8分

解法二：由已知，　　　　　　　　 …………………………2分

当时，，，，

则，与为等比数列矛盾；　 ………4分

　 当时，则，

　　 化简得：，，， ………8分

　 (Ⅱ)，则有：

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………11分

　　　　　　　　　 　　　　　　　………………………12分

　　　　　 　　　　　　　　………………………13分

17.解：(Ⅰ)∵ ABCD－A₁B₁C₁D₁是长方体，且AB=AD

　　　　 ∴平面-----------------------------------2分

　　　　 ∵平面　　 ∴平面ADG⊥平面CDD₁C₁----------------------------4分

(Ⅱ)当点G与C₁重合时，B₁C₁在平面ADG内，

当点G与C₁不重合时，B₁C₁∥平面ADG-------------------------------------------6分

证明：∵ABCD－A₁B₁C₁D₁是长方体，

∴B₁C₁∥AD

若点G与C₁重合， 平面ADG即B₁C₁与AD确定的平面，∴B₁C₁平面ADG

若点G与C₁不重合

∵平面,平面且B₁C₁∥AD

∴B₁C₁∥平面ADG----------------------------------------------------------10分

(Ⅲ)∵　 ∴为二面角G－AD－C的平面角----12分

在Rt△GDC中，∵GC=1,DC=1　 ∴=45°-------------------13分

16．解：(Ⅰ)在△ABC中，由余弦定理得：

，………………………………………………………2分

又∵　 ………………………………………………………5分

　∵　　 ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………6分

(Ⅱ)∵，由正弦定理得…………8分

即: 　故△ABC是以角C为直角的直角三角形……………10分

又…………………………………………………………12分

解析：1：在第二象限角内通过余弦函数线cosα>cosβ找出α、β的终边位置关系，再作出判断，得B。

2：∵a>0,∴y₁=2-ax是减函数，∵ 在[0，1]上是减函数。∴a>1，且2-a>0，∴1<a<2，故选B。

3：若，则，则；若，则，则；若，则，则；若,则，故选C。

4：结论中不含n，故本题结论的正确性与n取值无关，可对n取特殊值，如n=1，此时a₁=48,a₂=S₂－S₁=12，a₃=a₁+2d= －24，所以前3n项和为36，故选D。

5：取f(x)= －x，逐项检查可知①④正确。故选B。

6：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。

　 　　故选A。

7：由函数，可令x=0，得y=2；令x=4，得y=4，则特殊点(2,0)及(4,4)都应在反函数f^－1(x)的图像上，观察得A、C。又因反函数f^－1(x)的定义域为，故选C。

8：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D。

9：由椭圆的定义可得|AF₁|+|AF₂|=2a=8|BF₁|+|BF₂|=2a=8，两式相加后将|AB|=5=|AF₂|+|BF₂|代入，得|AF₁|+|BF₁|＝11，故选A。

10：题设中数字所标最大通信量是限制条件，每一支要以最小值来计算，否则无法同时传送，则总数为3+4+6+6=19，故选D。

21．(本题满分分)

已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

(Ⅰ)设，试求函数的表达式；

(Ⅱ)是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数

，，使得不等式成立，求的最大值．

　　　　　　 参考答案及评分说明

20.(本题满分14分)

如图，在直角梯形中，，，，椭圆以、为焦点且经过点．

(Ⅰ)建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；

(Ⅱ)若点满足,问是否存在直线与椭圆交于两点，且？若存在，求出直线 与夹角的正切值的取值范围；若不存在，请说明理由．