3．(2003年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类))已知长方形的四个项点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)，一质点从AB的中点P₀沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P₁后，依次反射到CD、DA和AB上的点P₂、P₃和P₄(入射解等于反射角)，设P₄坐标为(的取值范围是　　　　 ( 　　)

　　　 A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

2. (1993年全国高考)圆柱轴截面的周长L为定值，那么圆柱体积的最大值是(　　 )

　 A. ()π　　 B. 　()π　　　 C. ()π　　 D.　 2()π

1. (1994年全国高考)某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　 A.　 511个　 B. 512个　　 C.　 1023个　　 D. 1024个

3.要能熟练地处理分段函数问题.

例7．某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程.经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时.但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车.问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.

解: 引入字母， 构建等差数列和不等式模型.

由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a₁，a₂，…， a₂₅小时，依题意它们组成公差(小时)的等差数列，且

，化简可得.

解得.

可见a₁的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.

说明：对照此题与2002年全国高考文科数学解答题中的应用题， 一定会感觉二者的解法是大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具， 这要求不断的联想， 力求寻找恰当的解题方案.

例8．在一很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.，问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？

解: 不妨画一个图形，将文字语言翻译为图形语言， 进而想法建立数学模型.

设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.设船速为v，人追上船所用

时间为t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间

为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.

由余弦是理得

即

整理得.

要使上式在(0，1)范围内有实数解，则有且

解得.

　 故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时， 人可以追上小船.

例9．(2003年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类20))

　 　　 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.

　　　　 在时刻：(1)台风中心P()的坐标为

此时台风侵袭的区域是

其中若在t时刻城市O受到台风

的侵袭，则有

即

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

例10．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.

　 　　(1)用x，y表示混合食物成本c元；

　 　　(2)确定x，y，z的值，使成本最低.

　 　 解:(1)依题意得 　.

(2)由 ， 得

　　　 ，

当且仅当时等号成立.，　

　∴当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低为850元.

说明：线性规划是高中数学的新增内容， 涉及此类问题的求解还可利用图解法.

例11．(2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷文史类19))

　 　　 有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，(建立坐标系如图)

　 (Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小，

　点P应位于何处？

　 (Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小，

　　　　 点P应位于何处？

分析：本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运

用数学知识分析问题和解决问题的能力.

　 　(Ⅰ)解：设P的坐标为(0，)，则P至三镇距离

的平方和为

所以，当时，函数取得最小值.　 答:点P的坐标是

(Ⅱ)解法一：P至三镇的最远距离为

　　 由解得记于是

　　 　因为在[上是增函数，而上是减函数. 所以时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是

　 解法二：P至三镇的最远距离为

　 由解得记于是

　　 函数的图象如图，因此，

当时，函数取得最小值.答:点P的坐标是

　　　 解法三：因为在△ABC中，AB=AC=13，且，

　 所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为，

　　　　　 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P₁；当P在射线

MA的反向延长线上，记P为P₂，

这时P到A、B、C三点的最远距离为

P₁C和P₂A，且P₁C≥MC，P₂A≥MA，所以点P与外心M

重合时，P到三镇的最远距离最小.

答:点P的坐标是

例12．据气象台预报，在A市正东方向300公里的B处有一台风中心形成，并以每小时40公里的速度向西北方向移动，距离台风中心250公里内的地方都要受其影响。问：从现在起，大约多长时间后，台风将影响A市，持续时间有多长？

分析：台风中心在运动，它的运动规律是什么？我们可以建立一个直角坐标系来研究这一规律。视A市为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系XOY，则B处的坐标(300,0)，圆A的方程为x²+y²＝250²，易知当台风中心在圆A上或内部时，台风将影响A市。

解：建立如图所示的直角坐标系，台风中心运动的轨迹是一条射线，由于台风中心以每小时40公里的速度向西北方向移动，于是可设台风中心所在的射线的参数方程为：　　

x＝300+40tcos135^o　　　　　　　　　 即　 x＝300-20t

y＝40tsin135^o　　 (t≥0)　　　　　 y＝20t　　 　　　(t≥0)　　

其中，参数t的物理意义是时间(小时)，于是问题转化为“当时间t在何范围时，台风中心在圆A的内部或边界上”。

台风中心C(300-20t，20t)在圆A上或内部的充要条件是：

(300-20t)²+(20t )²≤250² ，解得1.9≤t≤8.6

所以大约2小时后，A市将受到台风影响，并持续6.5小时左右。

说明：这个解析几何模型对于研究台风、寒流、沙暴中心的运动规律，指导和预防自然灾害的影响具有现实意义。

例13．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人(140<<420，且为偶数)，每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？

　　 解：设裁员人，可获得的经济效益为万元，则

　　　　　 =

依题意　 ≥，　　 ∴0<≤.

又140<<420，　 70<<210.

(1)当0<≤，即70<≤140时， ， 取到最大值；

(2)当>，即140<<210时， ， 取到最大值；

　 综上所述，当70<≤140时，应裁员人；当140<<210时，应裁员人.

　　 说明：在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？

例14．(2003年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷理工农医类20))

A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A₁，A₂，A₃，B

队队员是B₁，B₂，B₃，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员	A队队员胜的概率	A队队员负的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η

　 (1)求ξ、η的概率分布；

　 (2)求Eξ，Eη.

分析：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.

解：(1)ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.

，

根据题意知ξ+η=3，所以　 P(η=0)=P(ξ=3)=， P(η=1)=P(ξ=2)=

P(η=2)=P(ξ=1)= ，　 P(η=3)=P(ξ=0)= .

　 (2)； 因为ξ+η=3，所以　

例15．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

解：设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，万辆，……，每年新增汽车万辆，则

　　　　　　 ，

所以，当时，，两式相减得：

(1)显然，若，则，即，此时

(2)若，则数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，.

(i)若，则对于任意正整数，均有，所以，，此时，

(ii)当时，，则对于任意正整数，均有，所以，，

由，得

，

要使对于任意正整数，均有恒成立，

即　　　

对于任意正整数恒成立，解这个关于x的一元一次不等式 ， 得

，

上式恒成立的条件为：，由于关于的函数单调递减，所以，.

　　 说明：本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.

例16．(2004年普通高等学校春季招生考试数学试题(北京卷理工19))某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.

(I)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

(II)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；

(III)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)

分析：本题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.

解：(I)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则

　　 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.

(II)当时，

　　 当时，

　　 当时，

　　 所以

(III)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则

　　 当时，；当时，

　　 因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；

　　 如果订购1000个，利润是11000元.

例17．有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式

g(t)= 　+［g(0)- ］·e(p≥0)，其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.

(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；　

(2)求证：当g(0)< 时，湖泊的污染程度将越来越严重；　

(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？

　解(1)∵g(t)为常数，　 有g(0)-=0， ∴g(0)= 　　　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2) 我们易证得0<t₁<t₂， 则

g(t₁)-g(t₂)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e

=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］，

∵g(0)·<0，t₁<t₂，e>e，　 ∴g(t₁)<g(t₂)　　　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　

故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.　　　　　　　　　　　　　　　

(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)·e，设经过t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?

∴=e，∴t= ln20，

故需要ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.

2.二次函数、指数函数以及函数(a＞0，b＞0)的性质要熟练掌握.

4.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到2000年底该市人均住房面积为4.92m.

说明：一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答.此种题型属于应用问题中的数列模型.

例4．如图，一载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶，其中

在距离O地5a(a为正数)公里北偏东β角的N处住有一位医学专家，其中

　 sinβ= 现有110指挥部紧急征调离O地正东p公里的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时.

　 (1)求S关于p的函数关系；

　 (2)当p为何值时，抢救最及时.

解：(1)以O为原点，正北方向为y轴建立直角坐标系，

则

设N(x₀，y₀)，

又B(p，0)，∴直线BC的方程为：

　由得C的纵坐标

，∴

(2)由(1)得 ∴，∴当且仅当时，上式取等号，∴当公里时，抢救最及时.

例5．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过实验分析得知：

　 (1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

　 (2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

　 (3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

解：(1)当，是增函数，且；，是减函数，且.所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟.

(2)，故讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中.

当时，；当，

　 (3)令，则学生注意力在180以上所持续的时间28.57－4=24.57＞24，所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题.

例6．(1997年全国高考题)甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(千米／时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.

　① 把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数，并指出函数的定义域；

　② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？　　

分析：几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值.

解：(读题)由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，

(建模)有y＝(a+bv)

(解题)所以全程运输成本y(元)表示为速度v(千米／时)的函数关系式是：

y＝S(+bv)，其中函数的定义域是v∈(0，c] .

整理函数有y＝S(+bv)＝S(v+)，

由函数y＝x+ (k>0)的单调性而得：

当<c时，则v＝时，y取最小值；

当≥c时，则v＝c时，y取最小值.

综上所述，为使全程成本y最小，当<c时，行驶速度应为v＝；当≥c时，行驶速度应为v＝c.

说明：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解(证)不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.

3.求解：化简上式＝，

∵ 1.02＝1+C×0.02+C×0.02+C×0.02+…≈1.219

∴ 人均住房面积为≈4.92

2.建模：2000年底人均住房面积为

4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答.(答略)

说明：本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率.其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解.本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练.此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题.此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式.

在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1.01≈1，算得结果为x≤98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.01的近似计算上.

A 　 M　 C　　 D　　 　　B

例2．某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室.据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？

解: 引入字母，转化为递归数列模型.

设第n次去健身房的人数为a_n，去娱乐室的人数为b_n，则.

.

，于是

即　　　 .

.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.

说明：上述解法中提炼的模型， 使我们联想到了课本典型习题：

已知数列的项满足

　　　　　　 (其中)，

证明这个数列的通项公式是：

这是一个重要的数列模型，用此模型可以解决许多实际应用题， 如2002年全国高考解答题中的应用题(下文例14)就属此类模型.

例3．(1991年上海高考题)已知某市1990年底人口为100万，人均住房面积为5m，如果该市每年人口平均增长率为2%，每年平均新建住房面积为10万m，试求到2000年底该市人均住房面积(精确到0.01)？

分析：城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出2000年后的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积.

解：1.读题：主要关系：人均住房面积＝

2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1+0.22)，人口数为m(1+0.01)，耕地面积为(10－10x).

∴ a(1+0.22)×(1O－10x)≥×(1+0.1)×m(1+0.01)