21．(本题满分14分)

已知数列中，，且．

(Ⅰ) 求数列的通项公式；

(Ⅱ) 令，数列的前项和为，试比较与的大小；

(Ⅲ) 令，数列的前项和为．求证：对任意_，

都有 ．

21解：(Ⅰ)由题知， ，

由累加法，当时，

代入，得时，

又，故．　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．．．4分

(II)时，．

方法1：当时，；当时，；

当时，．

猜想当时，．　　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．．．6分

下面用数学归纳法证明：

①当时，由上可知成立；

②假设时，上式成立，即.

当时，左边

，所以当时成立．

由①②可知当时,．　　　　　　　　　　　 　

综上所述：当时,；当时, ；

当时,．　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．．10分

方法2：

记函数

所以　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．6分

则

所以．

由于，此时；

，此时；

，此时；

由于，，故时，，此时．

综上所述：当时，_；当时,．　 　．．．．．．．．．．．10分

(III)

当时，

所以当时

+．

且

故对，得证．　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

20．(本题满分13分)

已知函数，函数的最小值为．

(1)求的解析式；

(2)是否存在实数同时满足下列两个条件：①；②当的定义域为时，值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

20解：(1)由，知，令

．．．．．．．．．．．．1分

记，则的对称轴为，故有：

①当时，的最小值

②当时，的最小值

③当时，的最小值

综述，　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．7分

(2)当时，．故时，在上为减函数．

所以在上的值域为．　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．9分

由题，则有，两式相减得，又

所以，这与矛盾．故不存在满足题中条件的的值．

．．．．．．．．．．．．13分

19．(本题满分12分)

已知二次函数，不等式的解集有且只有一个元素，设数列的前项和为．

(1)求数列的通项公式；

(2)设各项均不为的数列中，满足的正整数的个数称作数列的变号数，令，求数列的变号数．

19解：(1)由于不等式的解集有且只有一个元素，

故．　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

由题

则时，；时，

故　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

(2)由题可得，

由，所以都满足　　　 ．．．．．．．．．．．．．．8分

当时，，且，同时，可知

满足；时，均有．

满足的正整数，故数列的变号数．　　 ．．．．．．．．．．．．12分

18．(本题满分12分)

已知中，，为圆心，直径，求的最大值、最小值，并分别指出取得最值时与夹角的大小．

18解：在中，由余弦定理知，故．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．3分

所以

　 =　　　　　 ．．．．．．．．．．7分

故的最大值为，此时与夹角为．

的最小值为，此时与夹角为．　　 ．．．．．．．．．12分

17．(本题满分12分)

已知函数．

(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；

(2)求在上的值域．

17解：(1)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　．．．．．．．．．．．．．．3分

故函数的最小正周期

令，得

故的单调递减区间为．　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．6分

(2)当，知，故．

所以在上的值域是．　　　　　　　　 ．．．．．．．．．．．．．．12分

16．(本题满分12分)

中，角的对边分别为，且．

(1)判断的形状；

(2)设向量，，且，，求．

16解：(1)由题，故，

由正弦定理，即．

又，故，

因，故．

即，故为直角三角形．　　　　　　　　 　　　　．．．．．．．．．．．．．．6分

(2)由于，所以　 ①

且，即　 ②

联立①②解得，故在直角中，．．．．．．．12分

15．已知函数．

(Ⅰ)方程在区间上实数解的个数是__________；

(Ⅱ)对于下列命题：① 函数是周期函数；

② 函数既有最大值又有最小值；

③ 函数的定义域是R，且其图象有对称轴；

④对于任意(是函数的导函数)．

其中真命题的序号是　 　　　　．(填写出所有真命题的序号)

15答案：；②③

解析：(Ⅰ)由于，故

在中的整数个数

故在区间上实数解的个数为．

(Ⅱ)命题①：由分母为，易知不是周期函数，故为假命题；

命题②：由于是上的连续函数，且，可知既有最大值又有最小值，故为真命题；

命题③：由于，故的定义域是R

看到的对称轴为，且为的一条对称轴

故为图象的对称轴，故为真命题；

命题④：由在定义域R上连续，且，可知不可能在上为减函数，故为假命题．

14．已知数列都是公差为的等差数列，其首项分别为，且，．设，则数列的前项和为　　　　　　 ．

14答案：

解析：设，，则．

所以．

13．已知函数的图象如

图所示，，则　　　　　 ．

13答案：

解析：由图象可得最小正周期为．

所以，注意到与关于对称，故．

12．已知向量，，则在方向上的投影等于　　 　　　．

12答案：

解析：在方向上的投影为．