22．解：(1)∵ ，

∴ 由有x<0或x>2，由有0<x<2且x≠1，

即f (x)的单调递增区间为(-∞，0)，(2，+∞)，单调递减区间为(0，1)，(1，2)．

………………………………………………………………………………………4分

(2)由题有，整理得2S_n=a_n(1-a_n)，　 ①

∴ 当n=1时，2S₁=a₁(1-a₁)，解得a₁=-1，或a₁=0(舍)．

当n≥2时，2S_n-1=a_n-1(1-a_n-1)，　 ②

于是①-②得2a_n=a_n--a_n-1+，

整理得a_n+a_n-1=(a_n-1-a_n)(a_n-1+a_n)，

由已知有a_n+a_n-1≠0，

∴ a_n-a_n-1=-1(常数)．

∴ {a_n}是以-1为首项，-1为公差的等差数列．

∴ a_n=-n．………………………………………………………………………9分

(3)∵ a_n=-n，

∴ 原不等式即为，等价于．

两边同取对数得，

即证．

构造函数，

∵

，

显然当x≥0时，，

∴ g(x)在上是增函数．

∴ ，即，整理即得．

故原不等式得证．………………………………………………………………14分

21．解：(1)设-e≤x<0，则0<-x≤e，

∴ f (-x)=a(-x)+ln(-x)，

已知f (x)是奇函数可得f (-x)=-f (x)．

∴ -f (x)=-ax+ln(-x)，即f (x)=ax-ln(-x)．

∴ f (x)= ………………………………………………4分

(2)x∈时，

令，得．…………………………………………………………5分

①当≤-e，即-≤a<0时，．

故f (x)在上是增函数．

∴ f (x)_min=f (-e)=-ae-1=3，

解得(舍)．………………………………………………………8分

②当>-e，即时，则

x	[-e，)		(，0)
	-	0	+
	↘	最小值	↗

∴ f (x)_min===3，解得．

综上所述，存在实数a=-e²满足条件．………………………………………12分

20．解：(1)令y=f (x)=a^x+2-1，于是y+1=a^x+2，

∴ x+2=log_a(y+1)，即x=log_a(y+1)-2，

∴ =log_a(x+1)-2(x>-1)．………………………………………………3分

(2)当0<a<1时，

_max=log_a(0+1)-2=-2，_min=log_a(1+1)-2=log_a2-2，

∴ -2-(-2)=2，解得或(舍)．

当a>1时，_max=log_a2-2，_min=-2，

∴ ，解得或(舍)．

∴ 综上所述，或．……………………………………………7分

(3)由已知有log_a≤log_a(x+1)-2，

即≤对任意的恒成立．

∵ ，

∴ ≤．①

由>0且>0知x+1>0且x-1>0，即x>1，

于是①式可变形为x²-1≤a³，

即等价于不等式x²≤a³+1对任意的恒成立．

∵ u=a³+1在上是增函数，

∴ ≤a³+1≤，于是x²≤，

解得≤x≤．

结合x>1得1<x≤．

∴ 满足条件的x的取值范围为．…………………………………12分

19．解：(1)设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则由题意可列方程组

　 ……………………………………………………………3分

把a₁=3，b₁=1代入解得或

∵ {a_n}的各项均为正，

∴ 应舍去．

∴ ……………………………5分

(2)∵ ，

∴ T_n

，

=． …………………………………………………9分

∴ =，即，

∴ ≥，

解得　 n≤3，

∴ 正整数n=1，2，3． ………………………………………………………12分

18．解：(1)设有x人患“甲流感”，则由题意有， ……………3分

解得 x=1或x=4(舍)．

∴ 这5位发热病人中有1人患“甲流感”．…………………………………5分

(2)=1，2，3，4，则

，，

，．

∴ 的分布列为

ξ	1	2	3	4
P

……………………………………………………………………………………10分

∴．　 ……………………………………12分

17．解：由解得且x≠1，即A={x|且x≠1}，

由≥1解得1≤x<2，即B={x|1≤x<2}．　 ………………………………4分

(1)于是_RA={x|x≤或x=1}，所以(_RA)∩B={1}． ……………………7分

(2)∵ A∪B={x|}，即C={x|}．

由|x-a|<4得a-4<x<a+4，即M={x|a-4<x<a+4}．

∵ M∩C=Æ，

∴ a+4≤，解得a≤．…………………………………………………12分

13．0　　　　　　　　　 14．500　　　　　　　　　 15．-π　　　　　　　　　 16．②⑤

BCCAD　 DABAC　 　DB

22．(本题满分14分)已知函数f (x)=(x≠1)，各项同号且均不为零的数列{a_n}的前n项和S_n满足4S_n·f ()=1(n∈N*)．

(1)试求f (x)的单调递增区间和单调递减区间；

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)求证：．(e为自然对数的底数)

绵阳市高中2010届高三第一次诊断性考试

数学(理)参考解答及评分标准

21．(本题满分12分)已知f (x)是定义在∪上的奇函数，当x∈时，f (x)=ax+lnx，其中a<0，a∈R，e为自然对数的底数．

　　 (1)求f (x)的解析式；

　　 (2)是否存在实数a，使得当x∈时，f (x)的最小值为3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．