20．(石景山·理·题17)

如图，已知直三棱柱，，是棱上动点，是中点 ，，．

⑴求证：平面；

⑵当是棱中点时，求证：∥平面；

⑶在棱上是否存在点，使得二面角的大小是，若存在，求的长，若不存在，请说明理由．

[解析]　　　　　　 ⑴证明：⑴∵三棱柱是直棱柱，∴平面．

又∵平面，

∴ ．

∵，，是中点，

∴．

∵，

∴平面．

⑵证明：取的中点，联结，．

∵、分别是棱、中点，

∴，．

又∵，，

∴，．

∴四边形是平行四边形，

∴∥．

又∵平面，平面，

∴平面．

⑶以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，．

设，平面的法向量，

则，．

且，．

于是

所以

取，则

∵三棱柱是直棱柱，

∴平面．

又∵平面，

∴ ．

∵，

∴．

∵，

∴平面．

∴是平面的法向量，．

二面角的大小是，

则．

解得．

∴在棱上存在点，使得二面角的大小是，

此时．

19．(丰台·文科·题16)

如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．

⑴求证：；

⑵确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由．

[解析]　　　　　　 ⑴∵面，四边形是正方形，

其对角线、交于点，

∴，．

∴平面，

∵平面，

∴

⑵当为中点，即时，

/平面，

理由如下：

连结，由为中点，为中点，知，

而平面，平面，

故//平面．

18．(丰台·理科·题16)

如图，在底面是正方形的四棱锥中，面，交于点，是中点，为上一点．

⑴求证：；

⑵确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由．

⑶当二面角的大小为时，求与底面所成角的正切值．

[解析]　　　　　　 ⑴∵面，四边形是正方形，其对角线，交于点，

∴，．

∴平面，

∵平面，

∴　　　　　　　　　　

⑵当为中点，即时，平面，理由如下：

连结，由为中点，为中点，知，

而平面，平面，

故平面．

⑶作于，连结，

∵面，四边形是正方形，

∴，

又∵，，∴，

∴，且，

∴是二面角的平面角，

即，

∵⊥面，∴就是与底面所成的角

连结，则，，

∴，

∴，∴，

∴

∴与底面所成角的正切值是．

另解：以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，

设正方形的边长为，则，，，，，，，．

⑴，，

∴

⑵要使平面，只需，而，

由可得，解得，，

∴，∴

故当时，平面

设平面的一个法向量为，

则，而，，

∴，取，得，

同理可得平面的一个法向量

设所成的角为，则，

即，∴，∴

∵面，∴就是与底面所成的角，

∴．

17．(海淀·文科·题17)

如图：在四棱锥中，底面是菱形，，平面，

点、分别为、的中点，且．

⑴证明：平面；

⑵求三棱锥的体积；

⑶在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长；若不存在，说明理由．

[解析]　　　　　　 ⑴因为为菱形，所以

又，所以，

又为中点，所以

而平面，平面，所以

又，所以平面

⑵因为

又底面，，所以

所以，三棱锥的体积

⑶存在

取中点，连结，，，

因为，分别为、中点，所以且

又在菱形中，，

所以，，即是平行四边形

所以，又平面，平面

所以平面，即在上存在一点，使得平面，

此时．

16．(海淀·理科·题17)

如图，三棱柱中，侧面底面，，，

且，为中点．

⑴证明：平面；

⑵求直线与平面所成角的正弦值；

⑶在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置．

[解析]　　　　　　 ⑴证明：因为，且为的中点，所以．

又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，

所以平面．

⑵如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．

由题意可知，，又

∴．

所以得：，，，，，，则有：

，，．

设平面的一个法向量为，则有

，令，得，

所以．

．

因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，

所以．

⑶设，

即，得．

所以，得

令平面，得，即，得，

即存在这样的点，为的中点．

15．(朝阳·文·题12)

如下图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为　　　　 ．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ．

易知该几何体是底面直径为1，高为1的圆柱．

于是其全面积为．

14．(朝阳·文·题8)

如图，设平面，垂足分别为，且，如果增加一个条件就能推出，给出四个条件：①；②；③与在内的正投影在同一条直线上；④与在平面内的正投影所在直线交于一点． 那么这个条件不可能是(　　 )

A．①②　　 B．②③　　 C．③　　 D．④

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D；

在①②③的条件下，均有．

若能证明面．由面，则可证明．

①中．又由，知面．

②中由，知面．

③由面在内的正投影为直线，知面．

又面，，知面．

13．(朝阳·理·题8)

一个空间四边形的四条边及对角线的长均为，二面角的余弦值为，则下列论断正确的是 (　　 )

A．空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为．

B．空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为

C．空间四边形的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为

D．不存在这样的球使得空间四边形的四个顶点在此球面上．

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A；

易知四面体为边长为的正四面体．容易计算有其外接球的半径为．于是外接球的表面积为．

12．(朝阳·理·题4)

一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆； ④椭圆．其中正确的是(　 )

A．①②　　　　　　　　　　　　　 B．②③

C．③④　　　　　　　 D．①④

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B；

易知其俯视图可能为边长为3，2的矩形；亦可能为半长轴为3，半短轴为2的椭圆．

11．(崇文·文·题3)

有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：)，该几何体的表面积和体积为(　 )

A．　　 B．　 C．　 D．以上都不正确

[解析]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A；

易知几何体为母线长为5cm，底面直径为6cm的圆锥．

于是表面积为；体积为．