8. (广东省惠州市2009届高三第二次调研考试)

设单调递增函数的定义域为，且对任意的正实数x,y有：且．

⑴、一个各项均为正数的数列满足:其中为数列的前n项和,求数列的通项公式；

⑵、在⑴的条件下，是否存在正数M使下列不等式：

对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．

．解：⑴、对任意的正数均有且．

又

，　

又是定义在上的单增函数，．

当时，，．，．

当时，，

．，为等差数列，，．

⑵、假设存在满足条件，

即对一切恒成立．　……………8分

令，

，　

故，

，单调递增，，．

.

7.已知函数f(x)=|log₂(x+1)|，实数m、n在其定义域内，且m＜n，f(m)=f(n).

求证：(1)m+n＞0；

(2)f(m²)＜f(m+n)＜f(n²).

(1)证法一：由f(m)=f(n)，得|log₂(m+1)|=|log₂(n+1)|，即log₂(m+1)=±log₂(n+1)，

log₂(m+1)=log₂(n+1)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

或log₂(m+1)=log₂.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①得m+1=n+1，与m＜n矛盾，舍去.

由②得m+1=，即(m+1)(n+1)=1.　　　　　　　　　　 ③

∴m+1＜1＜n+1.∴m＜0＜n.∴mn＜0.

由③得mn+m+n=0，m+n=－mn＞0.

证法二：(同证法一得)(m+1)(n+1)=1.

∵0＜m+1＜n+1，∴＞=1.∴m+n+2＞2.∴m+n＞0.

(2)证明：当x＞0时，f(x)=|log₂(x+1)|=log₂(x+1)在(0，+∞)上为增函数.

由(1)知m²－(m+n)=m²+mn=m(m+n)，且m＜0，m+n＞0，∴m(m+n)＜0.

∴m²－(m+n)＜0，0＜m²＜m+n.

∴f(m²)＜f(m+n).

同理，(m+n)－n²=－mn－n²=－n(m+n)＜0，

∴0＜m+n＜n².∴f(m+n)＜f(n²).

∴f(m²)＜f(m+n)＜f(n²).

6.某人乘坐出租车从A地到乙地，有两种方案：第一种方案，乘起步价为10元，每km价1.2元的出租车；第二种方案，乘起步价为8元，每km价1.4元的出租车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的里路是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较适合？

解：设A地到B地距离为mkm，起步价内行驶的路为akm

显然，当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较合适

当m>a时，设m=a+x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)=10+1.2x，Q(x)=8+1.4x

∵ P(x)-Q(x)=2-0.2x=0.2(10-x)

∴ 当x>10时，P(x)<Q(x)，此时起步价为10元的出租车比较合适

当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车比较合适

当x=10时，P(x)=Q(x)，此时两种出租车任选

5. 设求证

证法一:左边-右边=

　=

　= 　= ∴原不等式成立。

证法二:左边>0，右边>0。

　∴原不等式成立。

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4.若,则的取值范围是 　　　　　　

　解析:由,可得

3. 若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的不等式有(　　 )

A．1个　　　　 　　 B．2个　　　　　　　　 　　　　 C．3个　　　　　　　 　　　　 D．4个

解析:由得,,则①④正确,②③错误,故选B.

2.(2008·吴川一中)对于实数，“”是“”成立的(　　 )

　 A.充分不必要条件　　　　　 　　B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　　　　　 　　D.既不充分又不必要条件

解析：由;反之不成立.选 C

1. 如果满足,且,那么下列选项中不一定成立的是(　 　)　　

A.　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.

解析:由题意知,则一定正确,B一定正确,D一定正确,故选C(当b=0时)

6. 已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²－14x+45＝0的两根，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n＝1－ b_n. (1)求数列{a_n}、{b_n]的通项公式； (2)记c_n＝a_nb_n，求证：c_n+1≤c_n. 解：(1)因为a₃，a₅是方程x²－14x+45＝0的两根，且数列{a_n}的公差d＞0， ∴a₃＝5，a₅＝9，从而d＝＝2 ∴a_n＝a₅+(n－5)d＝2n－1　　　　　　　　　　 又当n＝1时，有b₁＝S₁＝1－ b₁，∴b₁＝ 当n≥2时，有b_n＝S_n－S_n－1＝(b_n－1－b_n) ∴(n≥2) ∴数列{b_n}是等比数列，且b₁＝，q＝ ∴b_n＝b₁q^n－1＝；　　　　　　　　　　　　　　 (2)由(1)知：c_n＝a_nb_n＝，c_n+1＝

∴c_n+1－c_n＝≤0　 ∴c_n+1≤c_n.　　　　　　　　　　　　　　　　

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5. 已知是定义在上的奇函数，且，若、，，有；

(1)、判断函数在上的单调性，并证明你的结论；

(2)、若≤对所有的、恒成立，求实数的取值范围。

解：(1)、依题意，令，且、，则

　　　　　　 ，则函数在上的单调增。

　　 (2)、依题意，在上的最大值为1，则对恒成立，对恒成立，

　　　　　 或或。