3．已知 是空间二向量，若 的夹角为 　　　　　　.

2．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足

　　 则△BCD是(　　 )

　　 A．钝角三角形　　 B．直角三角形　 C．锐角三角形　 D．不确定

1．已知向量 的夹角为(　　 )

　　 A．0°　 B．45° C．90°　 D．180°

[例1]下列所表示的空间直角坐标系的直观图中，不正确的是(　)

错解：B、C、D中任选一个

错因：对于空间直角坐标系的表示不清楚。有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系．

正解：易知(C)不符合右手系的规定，应选(C)．

　[例2]已知点A(－3，－1，1)，点B(－2，2，3)，在Ox、Oy、Oz轴上分别取点L、M、N，使它们与A、B两点等距离．

错因：对于坐标轴上点的坐标特征不明；使用方程解题的思想意识不够。

分析：设Ox轴上的点L的坐标为(x，0，0)，由题意可得关于x的一元方程，从而解得x的值．类似可求得点M、N的坐标．

解：设L、M、N的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)．

　由题意，得

　(x+3)²+1+1＝(x+2)²+4+9，

　9+(y+1)²+1＝4+(y－2)²+9，

　9+1+(z－1)²＝4+4+(z－3)²．

分别解得 ，

故

评注：空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广：若点P、Q的坐标分别为(x₁，y₁，z₁)、(x₂，y₂，z₂)，则P、Q的距离为

必须熟练掌握这个公式．

[例3]设 ， ，且 ，记 ，求 与 轴正方向的夹角的余弦值

错解：取 轴上的任一向量 ，设所求夹角为 ，

∵

∴ ，

即余弦值为

错因：审题不清。没有看清“ 轴正方向”，并不是 轴

正解：取 轴正方向的任一向量 ，设所求夹角为 ，

∵

∴ ，即为所求

[例4]在ΔABC中，已知 ＝(2,4,0), ＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿

解： 　　　　　　　　　　　　　　

=

∴∠ABC＝135°

[例5]已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)，

⑴求以向量 为一组邻边的平行四边形的面积S；

⑵若向量 分别与向量 垂直，且| |＝ ，求向量 的坐标

分析：⑴

∴∠BAC＝60°，

⑵设 ＝(x,y,z)，则

解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴ ＝(1,1,1)或 ＝(－1，－1，－1).

[例6]已知正方体 的棱长为 ， 是 的中点， 是对角线 的中点，

求异面直线 和 的距离

解： 以 为原点， 所在的直线分别为 轴， 轴、 轴建立空间直角坐标系，则

，

设 ，

∵ 在平面 上，

∴ ，即 ，

∴ ，

∵ ，∴ ，

解得： ，∴ ，∴ ．

另外,此题也可直接求 与 间的距离

设 与 的公垂线为 ，且 ，

设 ，设 ，

则 ，∴ ，∴ ，

同理 ，

∴ ，∴ ，

∴ ，

解得： ， ， ．

4、本节内容对于立体几何的应用，读者需自行复习，这里不再赘述。

3、向量运算的主要应用在于如下几个方面：

(1)判断空间两条直线平行(共线)或垂直；

(2)求空间两点间的距离；

(3)求两条异面直线所成的角.

2、空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性，所以本节的学习难点在于掌握应用空间向量的常用技巧与方法，特别是体会其中的转化的思想方法．如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．

1、对于这部分的一些知识点，读者可以对照平面向量的知识，看哪些知识可以直接推广，哪些需要作修改，哪些不能用的，稍作整理，以便于记忆；

6．两点间的距离公式：若 ， ，则

5．夹角公式： ．