2. 变速直线运动的路程

设某物体作变速直线运动，速度 是 上 的连续函数，且 ，求在这段时间内物体所经过的路程。

分割求近似：在 内插入若干分点 将其分成 n　个小区间 ，小区间长度 ， 。任取 ， 做

求和取极限：则路程 取极限

定义 设函数 在 上有界，在 中任意插入若干个分点

将 分成　n　个小区间 ，其长度为 ，在每个小区间 上任取一点 ，作乘积 ，并求和 ，记　 ，如果不论对 怎样分法，也不论小区间 上的点 怎样取法，只要当 时，和 总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数 在区间 上的定积分，记作 ，即

， (*)

其中 叫被积函数， 叫被积表达式， 叫积分变量， 叫积分下限， 叫积分上限， 叫积分区间。 叫积分和式。

说明：

1.　曲边梯形的面积

设在区间 上 ，则由直线 、 、 及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积

　　　

分割求近似：在区间 中任意插入若干个分点将 分成　n　个小区间

，小区间的长度

在每个小区间 上任取一点 作乘积 ，

求和取极限：则面积 取极限

其中 ，即小区间长度最大者趋于零。

3.　极坐标的情形

设曲线方程为 具有一阶连续导数，求此曲线对 应于 之间的弧长：弧长元素(弧微分) ,

故：

例13 求抛物线 由顶点到点 的一段弧的长度。

解 直接用公式

　　

，

令

　　例14 计算摆线 的一拱 的长度。

　　　　　

解 由公式：

例15 求心形线 的全长，其中 。

　

解　 ，由公式：

　

由对称性：

　

2.　参数方程的情形

设 具有一阶连续导数，求曲线 对应于

　　

之间的弧长：弧长元素(弧微分)

故：

直角方程是参数方程的特殊情况，即： ， , 为参数。

1.　直角坐标的情形　

设 具有一阶连续导数，求此曲线对应于 之间弧长：

取 为积分变量，对应于 ，弧长元素(弧微分)为

　　

　

故：

(注： , 弧长为正，所以积分中

　参数大的做为上限值，小的作为下限

　值)以下同。

2. 旋转体的体积

(1)由连续曲线

　

　轴所围曲边梯形绕 轴旋转一周所成

　旋转体，其体积：取 为积分变量，

　对应于　 ，体积元素

　　　

　故：

　(2)由连续曲线

　　　

　轴所围曲边梯形绕 轴旋转一周所　

　成旋转体，其体积：取 为积分变

　量，对应于　 ，体积元素

　　　　　　

　故：

　

例10 设曲线

所围成的平面图形为　D。试求 D 绕 旋转

而成的旋转体的体积。

　　解 所求为　D　绕　y　轴旋转所得旋转体的体积, 由公式

　

　　

　　

　　

例11 求摆线 , 的一拱与 围成的图形分别绕 轴、 轴旋转一周而成的旋转体体积。

解

　　　　　　

(1)　绕 轴：

(2)　绕 轴：为如图两部分体积之差

　

例12 设由曲线 与直线 围成平面图形

求(1)此平面图形的面积；(2)此平面图形绕 轴旋转所成的旋转体体积。

解　作图，求交点：解 ；

　

解

(1)面积：

(2)体积：

1. 平行截面面积已知的立体体积

设空间立体 被垂直于 轴的平面所截，截面面积为 ，且立体在 之间，则体积元素 ，立体体积

　　

　例9 一平面经过半径为 的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角 ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。

　解 取这平面与圆柱体的底面的交线

　　

　为 轴，底面上过圆中心、且垂直于 轴的直线为 轴。

(见图)则底圆的方程为 。

　立体中过点 且垂直于 轴的截面是一个直角三角形。它的两条直角边的

　长分别为 及 ，即 及 。

　因而截面积 ，所求体积为

　　　　

2. 极坐标情形

设曲线的极坐标方程为

　　

　

连续，由曲线 及射线

　所围曲边扇形的面积

为　

(记住)

例8 求双纽线 所围成的平面图形的面积。　

解 由于双纽线的图形和极轴与极点都对称，因此只需求出区间 上部分面积再　4　倍即可

1. 直角坐标情形

(1)由曲线 与 轴在区间 段所围图形的面积为

　

(2)设 在区间 连续，由曲线 、 与 所围图形的面积为

(3)设 在 上连续，由曲线 、 与 所围图形的面积为

(上面公式不用背，可用定积分的元素法推出)

例1 计算由两条抛物线： 所围成的图形的面积。

解法一 用定积分几何意义

(1)画草图，定出图形的范围。 　　　　

　　

(2)求曲线的交点。解 得

选

为积分变量

(3)用定积分表达所求面积。

所求面积等于两曲边梯形面积之差：

解法二　元素法

(1)作图、求曲线交点(同上)，取 为积分变量，

(2)求面积元素

(3)积分

例2 求由曲线 及 所围成的面积。

解法一 作图，求出两曲线交点是(2，-2)，(8，4)取 为积分变量， 。

时， ， 时，

注意：在不同的区间内面积元素不同，要分区间积分。

解法二 选 为积分变量， ，在 上，

　　

(　选 为积分变量时被积函数的自变量为 )

可见，适当的选取积分变量可以简化计算。

2.　使用换元法时要注意条件，

　如

　 ( 令 ) 错，因 时，

　 不是单值的。

例4 设 在 上连续，证明：

证明：

　为偶函数时，

　为奇函数时，

这个公式要记住。

如(1) =0

　(2) 在 上连续，且 ，

　　　　则　

例5 计算 (为对称区间，被积函数第一项为奇函数)

解 原式

　　　　

例6 设 是以 为周期的连续函数，证明：

证明：

而　　　 ()

　　　　　　　　　

所以

例7

　　　　　　　　　　

此题利用了周期性， 的周期为 。

例8 设 为连续函数，证明：

证明：令 ，

　　　　　　　

　　　　　　　

和 取法同不定积分

例9

解 原式

例10

解

　　

例11

解 原式

　　　　

所以，原式

例12 设 ，证明： 。

证明：设

　　

例13 证明： ，其中 在所考虑的区间上 连续。

分析：所要证明的等式左端，其被积函数是一个变上限积分函数 ，而 ，所以等式左端应用分部积分公式后就可化掉一个积分号。

证明 用分部积分法有

　

所以

从上一章求曲边梯形的面积及变速直线运动物体的距离问题中看到，可利用定积分来计算几何、物理等问题中的某些待求量。

一般，设实际问题中的所求量　U　是一个与变量 的变化区间 有关的量，且量 U　对区间 具有可加性，即 ，部分量 可表示成 ，则可考虑用定积分来求量　U　。

具体做法是：

(1)根据具体问题选取适当的坐标和积分变量 ，并确定它的变化区间 ；

(2)将 分割成若干个小区间，任取一个代表区间 ，求出这个区间上　△U　的近似表达式：构造一个在 连续的函数 使　△ ，把 称为　U　的元素记为： ；

(3)所求量　U　等于　U　的元素在 上的积分　

这种方法称为元素法或微元法。