设 ，则两点间距离为　

　第二节　 矢量的概念及其运算

由三条相互垂直相交的数轴x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)按右手法则构成的坐标系称为空间直角坐标系，三个数轴的公共交点O为坐标原点。

　　

其中任两个数轴确定一个平面，称为坐标面，三个坐标面：XOY面,XOZ面,YOZ面。三个坐标面将空间分成了八个部分，称为八个卦限，记为：Ⅰ-Ⅷ。(见图)

　 　

空间中的点P与坐标 一一对应，特殊点的坐标的特点：坐标面上的点，坐标轴上的点。(见图)

　　

两平面的夹角：指它们的法矢量间的夹角(取锐角)

设　：　

　　：　

　

的充要条件：，即

∥的充要条件：∥，即

例9　研究下列各组平面的位置关系

(1)与；

(2)与；

(3)与。

解　(1)

，所以相交，夹角

(2)

∥平行，但不重合。(因为点在第一个平面上，但不在第二个平面上)。

(3)

∥平行，且重合。

例10　设有两平面，求这两平面的夹角。

解　

　

　所以

例11　设有两平面，如果两平面垂直，则？

解　

　，

两直线的夹角：指它们的方向矢量间的夹角(取锐角)

设：　

：　

充要条件：，即

充要条件：∥，即

例12　求两条直线与的夹角。

解　，

所以

平面与直线的夹角：指直线与它在平面上的投影直线间的夹角(取锐角)

设平面:

直线L：

　　

的充要条件：∥，即

∥的充要条件：,即

例13　求直线与平面　 的交点和夹角。

解　直线的参数方程为

代入平面方程

解得 t=-1 ，代入直线的参数方程中得交点(1，2，2)

例14　求过平面的交线，且与第二个平面垂直的平面方程。

解　法一：设所求平面的法线矢量为，由题意过直线

将其化为对称式

令z=2，解得直线过点(-1，-1，2)

直线对称式方程为

又因为的法线垂直于的法矢量且垂直于

点在所求平面上，由点法式得

即

法二：设所求平面的方程为

即

注：这是过两平面交线的平面束方程。

又垂直于平面，由两平面垂直的充要条件

解出，代入上面方程得

即

例15　求过直线且与平面垂直的平面方程。

解　设所求平面方程为

即

因所求平面方程与垂直，所以

所求平面方程为

即

例16　求过点且与平面都平行的直线方程。

解　

所求直线为

例17　求过点及直线的平面方程。

解　点在所求平面上，作

直线的方向矢量　

所求平面方程法矢量

所求平面方程为

即。

例18　求过两条直线与的平面方程。

解　上的点，上的点均在所求平面上，

作所求平面法矢量为，有且

可取

所求平面方程为

即

平行于某直线L的非零矢量称为该直线的方向矢量，记为

对称式方程：已知直线L过点且方向矢量，求此直线方程。

　　　　　

在直线上任取一点，作矢量则∥，所以有,此称为直线的对称式方程。

注：当中有零时，直线仍可写成对称式形式如应理解为两个平面的交线，即。

参数式方程：其中为直线上一点。

一般式方程：

其中

例7　求平行于直线且过点　的直线方程。

解　所求直线方向矢量所求直线方程为

例8　化直线　 为对称式方程。

解　令z=-5，解方程组得　 ,点在直线上。

对称式方程为

垂直于某平面的非零矢量称为该平面的法线矢量，记作。

　　　

点法式方程：已知平面过点，且与非零矢量垂直(法矢量)，求平面方程。

在平面上任取一点，作矢量，则，所以有

此称为平面的点法式方程。

一般式方程：

其中：法矢量，

截矩式方程：

　　　　

注:三元一次方程表示一个平面。

特殊位置的平面方程：

(1)过原点 ()

(2)平行于坐标轴

平行于x轴()　过X轴()

平行于y轴()　过Y轴()

平行于z轴()　过Z轴()

(3)垂直于坐标轴

垂直于x轴(平行于YOZ坐标面)

垂直于y轴(平行于XOZ坐标面)

垂直于z轴(平行于XOY坐标面)

例1　求过点(6，2，-2)且与平面平行的平面方程。

解　所求平面方程法矢量为

由点法式得

　　　　即

例2　求过三点的平面方程。

　

解　作矢量

取法矢量

　　　　

由点法式

即。

此题也可用下面的方法求解：

设平面方程为

因平面过、、三点，将三点的坐标代入方程，得

解出、、、即可。

例3　求过三点的平面方程。

例4　过点作垂直于两平面和的平面，求此平面方程。

解　设为所求平面法向量

可取

由点法式得

即

例5　求过点(1，-2，1)且与平面都垂直的平面方程。

例6　求平面外一点到该平面的距离。

解　在平面上任取一点，作矢量

　

　　则

如：点(1，-1，2)到平面的距离为

一条平面曲线c，绕着同一平面内的一条直线L旋转一周，这时由c所产生的曲面称为旋转面，c称为旋转面的母线，L为旋转面的轴。

　　　　

YOZ平面内曲线 ，绕Z轴旋转所得旋转面方程为，绕Y轴旋转所得旋转面方程为 。

XOZ平面内曲线 绕Z轴旋转所得旋转面方程为，绕X轴旋转所得旋转面方程为 。

XOY平面内曲线 绕X轴旋转所得旋转面为 ，绕Y轴旋转所得曲面为 。

例4 由抛物线 绕Z轴旋转产生的旋转面方程为 (旋转抛物面)。

例5 由椭圆 绕Z轴、Y轴旋转，求旋转面方程。

解 绕Z轴旋转 既 (旋转椭球面) 　　　　绕Y轴旋转 (旋转椭球面)。

先分析一个例子

例3 方程 表示怎样的曲面？

解 方程 在 面上表示圆心在原点、

半径为 的圆。

　

　在空间直角坐标系中，这方程不含z，即不论空间点的竖坐标怎样，只要它的横坐标 和纵坐标 能满足这方程，那么这些点就在这曲面上。即凡是通过面内圆 上一点 ，且平行于轴的直线都在这曲面上，因此，这曲面可以看作是由平行于轴的直线沿面上的圆移动而形成的。这曲面叫圆柱面， 面上的圆 叫做它的准线，平行于 轴的直线 叫做它的母线。

一般地，沿定曲线c并平行于定直线Z移动的动直线 所形成的轨迹叫柱面，定曲线c叫准线，动直线 叫柱面的母线。

不含的方程表示母线平行于轴的圆柱面。类似地，方程表示母线平行于轴的抛物柱面。方程表示母线平行于轴的平面，表示母线平行于轴的椭圆柱面，表示母线平行于轴的双曲柱面。

　　　　　　　　

一般地，只含 、 而缺 的方程 ，在空间直角坐标系中表示母线平行于 轴柱面，其准线是 面上的曲线c： 。

由类似的分析方法可知：

母线平行于 轴的柱面方程为

母线平行于 轴的柱面方程为

像在平面解析几何中把平面曲线当作动点的轨迹一样，在空间解析几何中，任何曲面都看作动点的几何轨迹。这样，在空间直角坐标系中，根据动点的运动规律可建立起关于的方程。

　

定义：如果曲面S与一个三元方程存在关系

(1)曲面上任何点的坐标都满足方程，

(2)凡是坐标满足方程的点都在曲面上，

那么方程称为曲面S的方程，曲面S称为方程的图形。

研究空间曲面时有两方面的问题：(1)已知一曲面作为动点的几何轨迹，建立曲面的方程，(2)已知方程 研究它所表示的曲面的形状。

作为问题(1)，我们建立球面方程和旋转曲面的方程，作为问题(2)我们讨论柱面。

例1 到定点的距离等于定长的点的几何轨迹是球面，定点是球心，定长是半径。建立球心在点，半径为的球面方程。

解： 设是球面上的任一点，　则　　　

即

所以

球心在原点，半径为的球面方程为。

　　　　　　　

例2 讨论方程 表示怎样的曲面？

解 通过配方，原方程可写为

所以，此方程表示球心在点 ，半径为 的球面。

通过空间曲线 作母线平行于z轴(x轴，y轴)的柱面，这柱面称为 在xoy(yoz,zox)坐标面上的投影柱面，投影柱面与xoy坐标面的交线c称为 在xoy坐标面上的投影曲线。

　

曲线 在xoy坐标面上的投影曲线方程为 ， 是由曲线方程消去变量z后得到的。

同样可得，在yoz坐标面上的投影曲线方程为 ，在zox坐标面上的投影曲线方程为 。

例3 求曲线 在坐标面上的投影曲线的方程。

解 消去z，得到在xoy面上的投影曲线为 　　　　消去x，得到在yoz面上的投影曲线为 　　　　消去y，得到在xoz面上的投影曲线为 　　　　　　 。

空间曲线除了可用一般式方程表示外，也可用参数方程来表示，在一般式方程中，令 ，解出 ，则可得到空间曲线的参数方程。

空间曲线的参数方程为 (随着t的变动可得到曲线C上的全部点)。

例2 将曲线的一般方程 化为参数方程。

解 令 ，得曲线的参数方程为