7.(全国卷Ⅰ)的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m =　 1　　　

[典型考例]

[问题1]三角形内角和定理的灵活运用

例1．(2005湖南卷)已知在△ABC中，sinA(sinB+cosB)－sinC＝0，sinB+cos2C＝0，求角A、B、C的大小.

解法一　 由

得

　　　 所以

即

　　　 因为所以，从而

　　　 由知 从而.

　　　 由

　　　 即

　　　 由此得所以

解法二：由

　　　 由、，所以即

　　　 由得

　　　 所以

　　　 即 　　　　　　 因为，所以

　　　 由从而，知B+2C=不合要求.

　　　 再由，得　 所以

例2．[2004年全国高考(四川云南吉林黑龙江)理科数学第17题，文科数学第18题]．

已知锐角三角形ABC中，

　 (Ⅰ)求证：；　 (Ⅱ)设AB=3，求AB边上的高.

解：(Ⅰ)证明：

所以

(Ⅱ)解：，

　　 即　 ，将代入上式并整理得

解得，舍去负值得，

　 设AB边上的高为CD.则AB=AD+DB=

由AB=3，得CD=2+.　 所以AB边上的高等于2+.

[问题2]正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用

例3：在中，，，，求的值和的面积.

　 解法一：　　 　，又

例4．．(2005年湖北文分)

　　　 在△ABC中，已知，求△ABC的面积.

解．本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.

解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，

.

故所求面积

解法3：同解法1可得c=8.　　 又由余弦定理可得

故所求面积

例5．(2005年湖北理)　 在△ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.

解．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.

解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=

在△BDE中利用余弦定理可得：　 BD²=BE²+ED²－2BE·EDcosBED，

解法2：

以B为坐标原点，轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.

解法3：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC，

过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=

[问题3]向量与解三角形

例6．(2004年湖北高考数学·理工第19题，文史第19题，本小题满分12分)

　　　 如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问

的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.

6.(福建卷)在△ABC中，∠C=90°，则k的值是　　　　 ( D　 )

　　　 A．5　　　 B．－5　 C．　　 D．

5.(湖北卷)若的内角满足，则

A.　　　　 B．　　　　 　　C．　　　　 D．

解：由sin2A＝2sinAcosA>0，可知A这锐角，所以sinA+cosA>0，又，故选A

4.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，

　　　 ∠B=30°，△ABC的面积为，那么b=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　　　 A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

3.(江西卷)在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，( 　D　 )　　　　　 A．　 B．　 C．　　　　　　　　　　　 D．

2.(全国卷Ⅱ)锐角三角形的内角A 、B 满足tan A - 　= tan B,则有　

(A)sin 2A –cos B = 0　　　 (B)sin 2A + cos B = 0　 　(C)sin 2A – sin B = 0　　 (D) sin 2A+ sin B = 0

1.(全国卷Ⅰ)在中，已知，给出以下四个论断：　 B

① 　　 ② ③ 　　 ④

其中正确的是(A)①③　　 (B)②④　　 (C)①④　　 (D)②③

18．略解(Ⅰ)设点P(x , y)，分别计算出·，·，·，

由题意，可得点P的轨迹方程是　　　　　　 　　　　

故点P 的轨迹是以原点为圆心、为半径的右半圆.　　　　　　　

　　　 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，，可得cosθ＝，

又x₀,∴即,

于是sinθ＝＝＝＝，

17. 略解 (1)y²＝4x　 (x＞0)　　 (2)先证明l与x轴不垂直，再设l的方程为

y＝kx+b(k≠0),A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).联立直线与抛物线方程，得

ky²－ 4y+4b＝0,由，得.

又　 故　 而　

解得直线l的斜率的取值范围是

16. 解：因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，

所以　 AG＝，ÐMAG＝，

由正弦定理，得

则S₁＝GM·GA·sina＝　　 同理可求得S₂＝

(1)　　　 y＝＝

＝72(3+cot²a)因为，所以当a＝或a＝时，y取得最大值y_max＝240

当a＝时，y取得最小值y_min＝216