2. 等差数列{a_n}中，m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q，等比数列{a_n}中，m+n=p+q，则a_ma_n=a_p·a_q(m、n、p、q∈)；等差(等比)数列中简化运算的技巧多源于这条性质。

[举例1]在等差数列中，为常数，则其前(　)项和也为常数

　 (A)6　(B)7　(C)11　　(D)12　　　　　　

解析：等差数列的前k项和为常数即为常数，而=3为常数，

∴2= 为常数，即前11项和为常数，选C。注意：千万不要以为=

=，那就大错特错了！所谓“下标和相等则对应项的和相等”，是指两项和等于两项和，三项和等于三项和……。等差数列中“n项和”与“两项和(转化为a₁+a_n)”有关，某一项或某几项和均需转化为“两项和”才能与“n项和”联系起来。

[举例2]等比数列{}中，a₄+a₆=3，则a₅(a₃+2a₅+a₇)=　　　 　

解析：a₅(a₃+2a₅+a₇)=a₅a₃+2a₅²+a₅a₇=a₄²+2a₄a₆+a₆²=(a₄+a₆)²=9

[巩固] 在正项的等差数列{}和正项的等比数列{}中，有，，试比较与的大小。

[迁移] 等比数列{}中，、是方程()的两根，则=　　

若把条件中的“”换成“”呢？若把条件中的“、”换成“、”

呢？

　[提高] 在等差数列中，前n项之和为,已知S₅=25,S_n=64,S_n-5=9,则 n=_____

1．公差不为0的等差数列的通项是关于n的一次函数，一次项系数是公差；前n项和是关于n的二次函数，二次项系数是公差之半且常数项为0；即等差数列{}中，=+(为公差，∈)，(∈)。证明某数列是等差(比)数列，通常利用等差(比)数列的定义加以证明，即证：a_n-a_n-1=常数(=常数) (，也可以证明连续三项成等差(比)数列。

[举例] {}、{}都是各项为正的数列，对任意的，都有、、成等差数列，、、成等比数列.试问{}是否为等差数列，为什么？

解析：由=得=，于是=(，又2=+，

∴2=+(，即2=+(，∴数列{}是等差数列。

注意：当用定义证明等差(比)数列受阻时，别忘了这“一招”！上述思路的关键是由“=”到“=(”的过渡，即所谓“升降标”，这也是处理数列问题的一个通法。

[巩固]已知等差数列的前项和为，且，则过两点

、的直线的斜率为：

(A)4　 (B)3　 (C) 2　 (D)1

[迁移]公差非零的等差数列中，前n项之和为，则数列……中
A．不存在等于零的项	B．最多有一项等于零

C．最多有2项等于零　　　　　　　　　 D．可有2项以上等于零

5. [巩固](1)2009年，(2)第n年(2000年为第一年)该森林木材总量T_n =

200×1.2⁹+300×1.2⁸+400×1.2⁷+…+1000×1.2+1100，错位相减得T_n=100(42×1.2⁹-85)≈13172.　　　　　　 　

2.　 [提高]记每次还款x万元，则第一次还款后尚欠商场1.008-x万元, 第二次还款后尚欠商场(1.008-x)1.008-x=1.008²-1.008x-x万元,…, 第12次还款后尚欠商场1.008¹²-1.008¹¹x-1.008¹⁰x-…-1.008x-x=0,得x=

, 3. [巩固]a_n=,对数列{b_n}“裂项”求得=)

()_max==∴M≥；4.，[巩固] (Ⅱ)a_n=2n，

(Ⅲ)记=

去证递增，>()_max==得a>或-<a<0.

1. [巩固1]b_n=2^n-1+2,T_n=2ⁿ+2n-1,[巩固2] (1)a_n=2n-1,b_n=3^n-1,(2)3²⁰⁰⁷,

5．在解以数列为数学模型的应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系(即数列的递推关系)，然后再求通项。

[举例] 从盛满729升纯酒精的容器里倒出a升，然后用水填满，再倒出a升混合溶液，用水填满，这样继续进行，一共倒了6次，这时容器里还含有64升纯酒精，则a的值为　　　　.

解析：记：倒了n次后容器里还含有a_n升纯酒精,则a=，

数列为等比数列，公比为 ，a₁=729-a,∴

64×729⁵=(729-a )⁶, 2×3⁵=729-a 　a=343。

[巩固]在占地3250亩的荒山上建造森林公园,2000年春季植树100亩,以后每年春季植树面积都比上一年多植树50亩,直到荒山全部绿化为止.

(1)　 到哪一年春季才能将荒山全部绿化完?

(2)　 如果新植树木的每亩木材量为2m³,树木每年自然增长率为20%,到全部绿化完的那年春季,该森林公园的木材总量是多少?(精确到1m³,1.2⁹≈1.56)

简答

4.与数列相关的不等式问题多用“放缩法”或数列的单调性解决。

[举例1]在数列中，已知，，

(Ⅰ)证明数列{-1}是等比数列，并求数列的通项公式；

(Ⅱ)求证：

解析：(Ⅰ)留给读者自己完成(参看第2条[举例]②)，；(Ⅱ)

(≥2)

∴=2+<2+1-<3.

[巩固] 已知在数列的前n和为S_n ,且对一切正整数n都有S_n=n²+a_n,

(Ⅰ)求证：a_n+1+ a_n=4n+2; (Ⅱ)求数列的通项公式；

(Ⅲ)是否存在实数a，使不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。

3. 应掌握数列求和的常用方法：应用公式(必须要记住几个常见数列的前n项和)、折项分组(几个数列的和、差)、裂项相消(“裂”成某个数列的相邻两项差后叠加)、错位相减(适用于一个等差数列和一个等比数列的对应项乘积构成的数列)、倒序相加等，要根据不同数列的特点合理选择求和方法(其中最重要、最常见的是裂项)。

[举例]①数列中，若，数列满足，则数列的前项和为　　　　　 。

解析：求的过程请读者自己完成。 =，

∴数列的前项和为：。一般地：通项为分式的数列求和多用“裂项”，“裂项”是“通分”的逆运算，可以先“裂开”再回头通分“凑”系数。

②已知=，S_n为数列{}的前n项和，=nS_n，求数列{}的前n项和T_n；

解析：S_n=-2=n×-2n, T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+ n×-2(1+2+3+…+n)

(视数列{}的前n项和为两个数列的前n项和的差，此即“分组求和”)记：

R_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+ n×，求R_n用“错位相减”法：

- R_n=2ⁿ⁺²-4-n×2ⁿ⁺²=-(n-1) 2ⁿ⁺²-4,∴R_n=(n-1) 2ⁿ⁺²+4 T_n=(n-1) 2ⁿ⁺²+4-n(n+1)。

注：“错位相减”法在中学数学中除推倒等比数列的求和公式外就仅此一用。“相减”后的n+1项中，“掐头去尾”中间的n-1项成等比数列。

③=　　　　　

解析：S==

用“倒序相加”：得2S==n2ⁿ, ∴S=n2^n-1 。

　[巩固]设数列是公差不为零的等差数列，其前项之和为，已知与的等比中项为，且与的等差中项为1。(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前项之和为，其中，问是否存在实数M，使得对任意正整数都成立？若存在，试求出实数M的范围；若不存在，试说明理由。

2.形如：+的递推数列，求通项时先“移项”得=后，再用叠加(消项)法；形如：的递推数列，求通项用连乘(约项)法；形如：a_n+1= qa_n+p (a₁=a，p、q为常数)的递推数列求通项公式可以逐项递推出通项(在递推的过程中把握规律)或用待定系数法构造等比数列(公比为q)；形如：(为常数)的递推数列求通项，先“取倒数”，可得数列{}是等差数列(公差为)。

[举例]①已知数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=a_n+2ⁿ-1,则a₁₀　　　 ；

解析：a_n+1-a_n=2ⁿ-1，分别取n=1，2，…9，叠加得：a₁₀-a₁=(2+2²+…+2⁹)-9=2¹⁰-11

　a₁₀=2¹⁰-10.

②若数列{a_n}满足a₁=，(n≥2), 则a_n=　　　　　 ；

解析：“取倒数”得：(n≥2)，记数列{+}为等比数列，且公比为2，

(为常数)，则+=2(+)(n≥2)，可见=-1，而-1=2

∴-1=2ⁿ, =2ⁿ+1, a_n=。注：(ⅰ)有时能够看、猜、试出来，未必非要“待定系数”。(ⅱ)数列{+}为等比数列，其首项是+而不是a₁，同样，通项是+而不是a_n，这是很容易出错的一个地方。(ⅲ)若递推关系变为a_n+1= qa_n+pⁿ,则也相应变为pⁿ，其他做法不变。

③已知数列{a_n}满足：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=a_n+1且a₂=2， 则a_n　　　　 。

解析：“降标”得a₁+2a₂+3a₃+…+(n-1)a_n-1=a_n，(n≥2)

作差得(n+1)a_n=a_n+1(n≥2)(n≥2)分别取n=2，3，…，n-1, 连乘得：

，又a₂=2得a_n=n! (n≥2)而a₁=a₂,∴a_n=。

　[提高]某顾客购买一件售价为1万元的商品，拟采用分期付款的方式在一年内分12次等额付清，即在购买后1个月第一次付款，以后每月付款一次，若商场按0.8%的月利率受取利息(计复利),则该顾客每月付款的数额为______

1. 遇到数列前n项和S_n与通项a_n的关系的问题应利用

使用这个结论的程序是：写出S_n的表达式，再“后退”一步(降标)得S_n-1的表达式，作差；得a_n的表达式。注意：n≥2的要求切不可疏忽！若S_n的表达式无法写出，亦可将a_n表示成S_n-S_n-1，得到一个关于S_n的递推关系后，进一步求解。

[举例1] 数列的前n项和=aⁿ+b,(a0, 且a1),则数列成等比数列的充要条件是__________

解析：降标得：=a^n-1+b, (n≥2),作差得：a_n=aⁿ- a^n-1= a^n-1(a-1), (n≥2)

再“升标”得：a_n+1= aⁿ(a-1)；∴，(n≥2)，∴数列成等比数列的充要条件是：

，即b= –1。

[举例2]数列中，a₁=1，S_n为数列{}的前n项和，n≥2时=3S_n，则S_n=　　　 。

解析：思路一：同[举例1]得：a_n –a_n-1=3a_n (n≥3) (n≥3) ∴数列从第二项开始成等比数列(注意：不是从第三项开始)，又a₂=3(a₁+a₂)得a₂=,∴n≥2时

= a₂q^n-2=()()^n-2(这个地方极容易出错)，即=

∴S_n==，注意到n=1和n≥2可以统一，∴S_n=。(冗长烦琐，步步荆棘！)思路二：要求的不是而是S_n，可以考虑在=3S_n中用S_n-S_n-1代换(体现的是“消元”的思想，思路一是加减消元，消去S_n；思路二是代入消元，消去)得：S_n-S_n-1=3S_n，

(n≥2)，即，(n≥2)，又S₁=1，∴S_n =。

[巩固1]数列{a_n}的前n项和，数列{b_n}满足： .

(Ⅰ)证明数列{a_n}为等比数列；(Ⅱ)求数列{b_n}的前n项和T_n。

[巩固2]等差数列的首项a₁=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别为等比数列的第二项、第三项、第四项

(1)　　　 求数列与的通项公式；

(2)　　　 设数列对任意整数n都有成立,

求c₁+c₂+…+c₂₀₀₇的值.