5．对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．

简易逻辑章节测试题

4．对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形(换)而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有充分性．

3．等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系．

2．确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．

1．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断．不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念．

4．A：圆与直线相切，B：

分析：要判断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可．

解：(1) 当，取，则方程无实根；若方程有实根，则由推出或6，由此可推出．所以A是B的必要非充分条件．

(2)若则

所以成立

若成立　　 取，知不一定成立，

故A是B的充分不必要条件．

(3) 由，由解得，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件．

(4) 直线与圆相切圆(0，0)到直线的距离，即＝＝.所以A是B的充要条件.

变式训练1：指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).　

(1)在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB；　

(2)对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;　

(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；　

(4)已知x、y∈R，p：(x-1)²+(y-2)²=0，q：(x-1)(y-2)=0.　

解： (1)在△ABC中，∠A=∠BsinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.　

(2)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.　

(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.　

(4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,　

所以pq但qp,故p是q的充分不必要条件.　

例2. 已知p：－2＜m＜0，0＜n＜1；q：关于x的方程x²+mx+n＝0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.

解：若方程x²+mx+n＝0有两个小于1的正根，设为x₁、x₂．

则0＜x₁＜1、0＜x₂＜1，∵x₁+x₂＝－m，x₁x₂＝n

∴0＜－m＜2，0＜n＜1　 ∴－2＜m＜0，0＜n＜1

∴p是q的必要条件．

又若－2＜m＜0，0＜n＜1，不妨设m＝－1，n＝．

则方程为x²－x+＝0，∵△＝(－1)²－4×＝－1＜0． ∴方程无实根　 ∴p是q的非充分条件．

综上所述，p是q的必要非充分条件．

变式训练2：证明一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.　

证明：充分性：若ac<0,则b²-4ac>0,且<0,　

∴方程ax²+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.　　

必要性：若一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根，则=b²-4ac>0,x₁x₂=<0,∴ac<0.

综上所述，一元二次方程ax²+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

例3. 已知p： |1－|≤2，q：:x²－2x+1－m²≤0(m>0)，若是的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.

解： 由题意知：命题：若┒p是┑q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.

p: |1－|≤2－2≤－1≤2－1≤≤3－2≤x≤10

q: x²－2x+1－m²≤0［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0*

∵p是q的充分不必要条件，

∴不等式|1－|≤2的解集是x²－2x+1－m²≤0(m>0)解集的子集.

又∵m>0，∴不等式*的解集为1－m≤x≤1+m

∴，∴m≥9，

∴实数m的取值范围是［9，+∞

变式训练3：已知集合和集合，求a的一个取值范围，使它成为的一个必要不充分条件.

解：，

　　 由

所以是必要但不充分条件. 说明：此题答案不唯一.

例4. “函数y＝(a²+4a－5)x²－4(a－1)x+3的图象全在x轴的上方”，这个结论成立的充分必要条件是什么？

解：函数的图象全在轴上方，若是一次函数，则

若函数是二次函数，则：

反之若，由以上推导，函数的图象在轴上方，综上，充要条件是．

变式训练4：已知P＝{x | |x－1| | >2}，S＝{x | x2+，的充要条件是，求实数的取值范围．

分析：的充要条件是，即任取，反过来，任取

据此可求得的值．

解：的充要条件是

∵P＝{x || x－1|＞2}}＝

S＝{x | x2+(a+1)x+a＞0)}＝{x | (x+a)(x+1)＞0}

3．A：；B：；

2． A：，B：；

1． A：，B：方程有实根；

3．充要条件：如果且则p叫做q的　　　　 条件．

例1．在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由．