1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．

6．空间向量的数量积

(1) 空间向量的夹角：　　　　　　　 ．

(2) 空间向量的长度或模：　　　　　　　 ．

(3) 空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量a、b，则a·b＝　　　　　　　　　 ．

空间向量的数量积的常用结论：

(a) cos〈a、b〉＝　　　　　 ；

(b) ïaï²＝　　　　　　　 ；

(c) ab　　　　　　　　　　 ．

(4) 空间向量的数量积的运算律：

(a) 交换律a·b＝　　　　　　　　　 ；　

(b) 分配律a·(b+c)＝　　　　　　　　　 ．

例1．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点F是侧面CDD₁C₁的中心，若，求x－y的值.

解：易求得

变式训练1. 在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．-a+b+c 　　　 B．a+b+c

C．a-b+c　　　　　 D．-a-b+c

解：A

例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D为AC的中点，

求证：AB₁∥平面C₁BD.

证明：记则∴,∴共面.

∵B₁平面C₁BD, AB₁//平面C₁BD.

变式训练2：正方体ABCD－EFGH中，M、N分别是对角线AC和BE上的点，且AM＝EN．

(1) 求证：MN∥平面FC；　　　　　　　　　

(2) 求证：MN⊥AB；　

(3) 当MA为何值时，MN取最小值，最小值是多少？

解：(1) 设

(2)

(3) 设正方体的边长为a,

也即，

例3. 已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD， G、H分别是△ABC和△ACD的重心．

求证：(1) AD⊥BC； (2) GH∥BD．

证明：(1) AD⊥BC．因为ABCD，，而．

所以AD⊥BC．

(2) 设E、F各为BC和CD的中点．欲证GH∥BD，只需证GH∥EF，＝()＝．

变式训练3：已知平行六面体，E、F、G、H分别为棱的中点．求证：E、F、G、H四点共面．

解：＝

＝＝＝，

所以共面，即点E、F、G、H共面．

例4. 如图，平行六面体AC₁中，AE＝3EA₁，AF＝FD，AG＝，过E、F、G的平面与对角线AC₁交于点P，求AP:PC₁的值．

解：设

∴

又∵E、F、G、P四点共面，∴

∴　 ∴AP︰PC₁＝3︰16

变式训练4：已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证．

证明：法一：

故

法二：·＝(+)·(+)

＝·

＝＝0

5．空间向量基本定理

(1) 空间向量的基底：　　　　　　 　的三个向量．

(2) 空间向量基本定理：如果a，b，c三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量p，存在一个唯一的有序实数组，使　　　　　　　　 ．

空间向量基本定理的推论：设O，A，B，C是不共面的的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组，使　　　　　　 ．

4．共面向量

(1) 共面向量：平行于　　　　　　　　 　的向量．

(2) 共面向量定理：两个向量a、b不共线，则向量P与向量a、b共面的充要条件是存在实数对()，使P　　　　　　　　　　 ．

共面向量定理的推论：　　　　　　　 ．

3．共线向量

(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相　　　　 或 　　　　　　．

(2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，a∥b等价于存在实数，使　　　　　　 ．

(3) 直线的向量参数方程：设直线l过定点A且平行于非零向量a，则对于空间中任意一点O，点P在l上等价于存在，使　　　　　　　 ．

2．线性运算律

(1) 加法交换律：a+b＝　　　　　　　　　 ．

(2) 加法结合律：(a+b)+c＝　　　　　　　 ．

(3) 数乘分配律：(a+b)＝　　　　　　　 ．

1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；

(1) 向量：具有　　　　　 和　　　　　　 的量．

(2) 向量相等：方向　　　　 且长度　　　　　 ．

(3) 向量加法法则：　　　　　　　　　　　　 ．

(4) 向量减法法则：　　　　　　　　　　　　 ．

(5) 数乘向量法则：　　　　　　　　　　　　 ．

3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式．

理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

第1课时　　 空间向量及其运算

空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．

本节知识点是：

2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算．

1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘．