10. 三角形的三个顶点是A(4，0)、B(6，7)、C(0，3).　　　 (◎P₁₀₁ B1)

(1)求BC边上的高所在直线的方程；　　　　 (2)求BC边上的中线所在直线的方程；

(3)求BC边的垂直平分线的方程．

解：(1)所以BC边上的高所在直线的斜率为又过点，所以直线的方程为

即；……………………………..4分

(2)BC中点坐标为,所以所在直线的方程为即。..8分

(3)易知即为所求。…………………………………….12分

9. 求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程. (◎P₁₀₀ 9)

解：因为直线l经过点P(2，3)，且在x轴，y轴上的截距相等，所以

(1)当直线过原点时，它的方程为；……………………………5分

(2)当直线不过原点时，设它的方程为由已知得，

所以，直线的方程为。……………………………………….11分

综上，直线的方程为，或者。……………..12分

8. 已知，，，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．(◎P₉₀ 8)

解：设点D的坐标为(x,y)，由已知得，直线AB的斜率K_AB＝3，……………2分.

直线CD的斜率K_CD＝，　直线CB的斜率K_CB＝－2，　直线AD的斜率K_AD＝。

……………………………………………………………………………8分

由CD⊥AB，且CB∥AD，得，………11分

所以点D的坐标是(0，1)……………………………………..12分

7.(06年北京卷)如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.

(1)求证：； (2)求证：平面；(3)求二面角的大小. (☆P₃₈ 9)

解：(1)∵ PA⊥平面 ABCD，

∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影.

又∵AB⊥AC，AC平面ABCD， ∴AC⊥PB. ……4分

(2)连接BD，与 AC 相交于 O，连接 EO.

∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点

又 E 是 PD 的中点，∴EO∥PB.

又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，

∴PB∥平面 AEC……………………………..8分

(3)

取AD的中点F，的中点，连，则

所以是所求二面角的平面角，且与对应相等。

易知由图可知，为所求。……………12分

6. 如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中.　　　　　　　　 (◎P₇₉ B2)

求证：(1)B₁D⊥平面A₁C₁B；　 (2)B₁D与平面A₁C₁B的交点设为H，则点H是△A₁C₁B的垂心.

证明：(1)连，，又面，

所以，面，因此。

　　　 同理可证，所以B₁D⊥平面A₁C₁B。……6分

　　 (2)连，由，得

　　　 ，因此点为的外心。

又为正三角形，所以是的中心，

也是的重心。………….…………………. 12分

5. 如图，∥∥，直线与分别交,,于点和点，求证：. (◎P₆₃ B3)

证明：连结，交于，连…………3分

则由得……………………7分

　　　 由得………………..10分

所以………………………..12分

4. 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.

求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)三条直线EF、GH、AC交于一点.　 (☆P₂₁ 例3)

证明：(1) 在△ABD和△CBD中，

∵　 E、H分别是AB和CD的中点， ∴ EHBD…………….3分

又 ∵ ，　 ∴ FGBD.

∴　 EH∥FG.　 分

所以，E、F、G、H四点共面.--------------------------------------------7分

(2)由(1)可知，EH∥FG ，且EHFG，即直线EF，GH是梯形的两腰，

所以它们的延长线必相交于一点P. ……………………………9分

∵　 AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，

∴ 由公理3知PAC.　 ………………………11分

所以，三条直线EF、GH、AC交于一点……..12分

3. 直角三角形三边长分别是、、，绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积.　 (◎P₃₆ 10)

解：以绕5cm边旋转为例，其直观图、正视图与侧视图、俯视图依次分别为：

…………………………………………………………………………………………………………..2分

其表面是两个扇形的表面，所以其表面积为；-----------------3分

体积为。………………………………………………….4分

同理可求得当绕3cm边旋转时，。…………………….8分

得当绕4cm边旋转时，。……………………………….12分

(图形略)

2. 如图(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. (☆P₁₅ 例2)

解：由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成：

圆台下底面、侧面和一半球面. ……………………………………….3分

　　　 S_半球=8π ， S_圆台侧=35π ，S_圆台底=25π.

　故所求几何体的表面积为68π ………………………………………..7分

由，………9分

…………………………………………….11分

所以，旋转体的体积为……12分

1. 圆锥底面半径为1 cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长. (☆P₃ 例3)

解：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD₁C₁，如图所示. …………………2分

设正方体棱长为x，则CC₁=x，C₁D_1。

作SOEF于O，则SO，OE=1，……………………………….5分

， ∴ ，即………..10分

∴ ， 即内接正方体棱长为cm……………………….12分