3.(文)的定义域是(　　　 )

A.　 　　　　　　　　B.　

C.　　　　　　　 D.

(理)不等式的解集是(　　　 )

A.　 B.　　 C.　　 D.

2.(文)等比数列中，，则=

A.　 B.　　 C.　　 D.

(理)数列中有，，且等式对 对于任意成立，则(　　　 )

A.5032　 B.5044　　 C.5048　　 D.5050

1.若数列{}满足,且()则等于(　　　 )

A、　　 B、　　　 C、　　 D、

8、(Ⅰ)证明　 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

　 所以AB=AD=AC=a，　 在△PAB中，

由PA²+AB²=2a²=PB²　 知PA⊥AB.

同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

(Ⅱ)解　 作EG//PA交AD于G，

由PA⊥平面ABCD.

知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，

则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.

又PE : ED=2 : 1，所以

从而　 　

(Ⅲ)解法一　 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为

所以

设点F是棱PC上的点，则

　　 　　令 　得

解得　 　　即 时，

亦即，F是PC的中点时，、、共面.

又　 BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.

解法二　 当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下，

证法一　 取PE的中点M，连结FM，则FM//CE.　 ①

　 由　 　知E是MD的中点.

连结BM、BD，设BDAC=O，则O为BD的中点.

所以　 BM//OE.　 ②

由①、②知，平面BFM//平面AEC.

又　 BF平面BFM，所以BF//平面AEC.

证法二

因为　

所以　 、、共面.又 BF平面ABC，从而BF//平面AEC.

7、解：(1)取B’D’的中点E，连CE，可以证明OA’∥CE，从而可证得OA’∥平面B’CD’

(2)取A’B’的中点M，则CM⊥平面 AB’，AM为C’A在面 AB’内的射影。如图，

只要∠ABF=∠A’AM，

就有C’A⊥平面BDF。由相似三角形知识可得：

此时。

6．解法一

(1)　　　 证明：延长PG交　AB于D，过D作DM于M。

由G是三角形APB的重心　 D是AB中点。

又APPB　 DM // AP　　 M是PB的中点

　　 GF // DM　　 GFPB

又CPPA, CPPB　　 CP面APB　　 CPGF

又PB交CP于P　　 GF面PBC

又GF面GEF　　 面GEF面PBC

(2) 解：P-ABC是正三棱锥　　　　 PC=PB= a

BC=a　　 BE= , BF=，　　

　∽，　EFBC,

又GF面PBC　 GE BC

过G点作GH // AB 交PB于H, 连EH:　　

　EH // Pc　　　 EH面APB，　又PGAB　　 GH　　 EGPG

EG是PG和BC的公垂线。

解法二

证明：(1)将正三棱锥如图放置在坐标系中，使点为坐标原点，

并设,

则

,

.由于平面，

平面，于是平面平面。

(2)

是和的公垂线。

1、D 　　2、D 　　3、A　　 　4、(1)③⑤(2)②⑤ 　　　5、

1、D　 2、B　 3、C　 4、③④ 　5、①③④

例1：证法一　 证明：在面AC中，过N作BC的平行线交AB于Q，

则NQ // BC,连结MQ.　　 在面AC中，

在面APB中，　　　　　 MQ // PB

又 NQ // BC, 　　　 面MNQ // 面PBC

直线MN面MNQ　　　 　　　 MN // 面PBC

证法二

证明：

在BC上取一点E，使，

　　　　 MN//PE，MN//平面PBC。

例2(1)直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC₁；

(2)解法1 设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，

∵ D是AB的中点，E是BC₁的中点，∴ DE//AC₁，∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴ AC₁//平面CDB₁；

解法2　 取A₁B₁中点M，连结C₁M，AM、

DM，易证四边形ADB₁M，CDMC₁是平

行四边形，得到AM//DB₁，C₁M//CD，从而得到AM//平面CDB₁，C₁M//平面CDB₁

　 (3)∠DEC为所求的异面直线所成的角。其余弦值为.

例3：解法一：(1)取A₁B₁中点M，连结AM、MC₁，设MC₁与B₁D₁相交于点E＇。∵，∴B₁E=2 E′D₁，又∵D₁E=2EB₁，∴E′与E重合，∴M、E、C₁共线，且。同理，M、F、A三点共线，

且。∴，∴EF∥AC₁，

(2)连结A₁C₁，

∵EF是两异面直线B₁D₁、A₁B₁的公垂线段，∴EF⊥B₁D₁，EF⊥A₁B。前面已证EF∥AC₁，∴AC₁⊥B₁D₁。

又∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴A₁C₁⊥B₁D₁，∴A₁B₁C₁D₁为正方形，同理，A₁B₁BA为正方形。∴A₁B₁=A₁A。　∴该长方体为正方体。

解法二：(1)如图，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系。设DA=a，DC=b，DD₁=c，则E()，F()，，。，，∴，∴∥。

∵FE与AC₁不共线，∴FE∥AC₁。

(2)∵D₁(0，0，c)，B₁(a，b，c)，A₁(a，0，c)，B(a，b，0)，

∴=(a，b，0)，=(0，b，－c)，

∵EF是两异面直线B₁D₁、A₁B的公垂线段，

∴EF⊥B₁D₁，EF⊥A₁B。

∴，，

∴，b²－c²=0，∴a=b=c。

∴该长方体为正方体。

解法三：(1)设，，

则

又∵，　∴　　 ∴A₁C∥FE

(2)由题意知EF是B₁D、A₁B的公垂线。

即：AC₁⊥B₁D且AC₁⊥A₁B

=0　　　　　 =0

　　　　　　　 即

　　　　 =0

∴　　 ∴该长方体为正方体。

备用题：解法一　 作法：①B作BG交于G；②过G作GM // AD交于M；

③连BM，则BM即为所求作　　 证明： 连BD　 正方体ABCD-中，E,F为AB和BC的中点　 ，又面ABCD　　 　EFBM

又GM // AD　 面　　 而　 　

　又　　 面

解法二 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为1，则,　 设M，于是,,,

恒成立，要使BM平面，只需,

即,而

故当M是的中点时，BM。

冲刺强化训练(21)

8、如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60⁰，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.

(1)证明PA⊥平面ABCD；

(2)求二面角的大小；

(3)在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.

第21讲　 平行与垂直问题

[课前热身]

7、如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠ABC=60⁰，侧棱AA₁的长等于3a，O为底面ABCD的对角线的交点。

　 (1)求证：OA₁//平面B₁CD₁；

　 (2)在棱AA₁上取一点F，问AF为何值时，C₁A⊥平面BDF？