6. [巩固]B，

4. [巩固] C, [迁移]B，5. [举例]-，[巩固]

1. [巩固]C，[迁移]视S_n为关于n的二次函数，其图象是经过原点的抛物线上的点，故选B，2. [巩固]==≥=，

[迁移]等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号也相同；- ，，± ，

[提高] S_n-S_n-5=a_n+a_n-1+a_n-2+a_n-3+a_n-4=55,与a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=25两式相加得5(a₁+a_n)=80,得n=8，3.[巩固]6；

6.解等差(比)数列有关通项、求和问题时别忘了“基本元”，即把问题转化为首项a₁，公差d(或公比q)的方程(组)或不等式(组)去处理。已知等差或等比数列中的任两项也可用 a_m-a_n=(m-n)d，或=q^m-n。

[举例1] 等差数列的前n项和S_n，若S₃=9，S₁₃=26求S₂₃的值。

解析：用求和公式解方程组，求出a₁,d,再代入求和公式中求S₂₃，这是通法。也可简化为：

S₃=3a₂=9a₂=3，S₁₃=13a₇=26a₇=2, ∴a₁₂= 1(a₂、a₇、a₁₂成等差数列)，S₂₃=23a₁₂=23。

[举例2]已知等差数列{a_n}中，a₃与a₅的等差中项等于2，又a₄与a₆的等比中项等于6，则a₁₀等于　 (A) 54　　 (B) 50　　 (C) 26　　 (D) 16

解析：a₃与a₅的等差中项等于2，即a₄=2；a₄与a₆的等比中项等于6，即a₆=18；于是2d=16,

a₁₀= a₆+4d=50,选B。

[巩固]]已知等差数列{a_n}的首项a₁=120，公差d=－4，若S_n≤a_n(n>1)，则n的最小值为　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　

(A)61　　 (B)62　　 (C)63　　 　(D)70

[迁移]等差数列{a_n}中若a_m=n，a_n=m且m≠n求证：a_m+n=0；

简答

5.注意：等比数列求和公式是一个分段函数　 　　　na₁ (q=1)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　Sn= 　

则涉及到等比数列求和时若公比不是具体数值须分类讨论解题。

[举例]已知等比数列的公比为q，前n项和为S_n，且S₃ ，S₉ ，S₆ 成等差数列，求q³的值。

解析：不可直接用等比数列的求和公式，需讨论：若q=1，S₃=3a₁ ，S₉=9a₁，S₆=6a₁,则有：

18a₁=3a₁+6a₁, 则a₁=0, 与是等比数列矛盾，∴q≠1，于是有：

，化简得：，∴。

本题还可以用：第一个三项和、第二个三项和、第三个三项和成等比数列解决，留读者自己完成。

[巩固]已知a_n=1+r+r²+r³+…r^n-1，则数列的前n项和=______________

4. 等差数列当首项a₁>0且公差d<0，前n项和存在最大值。利用不等式组：

确定n值，即可求得S_n的最大值。等差数列当首项a₁<0且公差d>0时，前n项和存在最小值。 类似地确定n值，即可求得s_n的最小值；也可视s_n为关于n的二次函数，通过配方求最值；还可以利用二次函数的图象来求。

[举例] 设等差数列满足3 a₈=5a₁₃，且a₁>0，则的前__________项和最大

解析：思路一：由3 a₈=5a₁₃得：d=a₁,若前n项和最大，则，

又a₁>0得：，∴n=20,即的前20项和最大。这一做法最通行。

思路二：S_n=na₁+n(n-1)d=na₁- n(n-1)a₁=-a₁(n²-40n),当且仅当n=20时S_n最大。这一做法突显了数列的函数特征。思路三：由3 a₈=5a₁₃得15a₈=25a₁₃,即S₁₅=S₂₅,又∵a₁>0，

∴S_n的图象是开口向下的抛物线上的点列，对称轴恰为n=20，故n=20时S_n最大。这一做法中几乎没有运算，但设计太过“精妙”，非对等差数列的性质融会贯通而不能为，仅供欣赏。

[巩固] 数列是等差数列，是其前n项和，且S₅＜S₆，S₆=S₇>S₈，则下列结论错误的是：A.d ＜0　 　B.a₇=0 　C.S₉>S₅ 　　D. S₆ ,S₇均为的最大值　 (　　 )

[迁移] 在等差数列则在前n项和S_n中最大的负数为

　　　 A．S₁₆ B．S₁₇ C．S₁₈ D．S₁₉ (　　 )

3．等差数列前n项和、次n项和、再后n项和(即连续相等项的和)仍成等差数列；等比数列前n项和(和不为0)、次n项和、再后n项和仍成等比数列。

[举例1]在等比数列中，S₂ =40，S₄ =60，则S₆等于　　　　　　　 (　　 )

　 A　 10　　 　　　　B　 70　　　　　　　　 C　 80　　　　　　 D　 90

解析：在等比数列中，第一个两项和为40，第二个两项和为20(注意：S₄是前4项和，不是两项和)，则第三个两项和为10，S₆为三个两项和相加，选B。

[举例2] 在等差数列中，前n项之和为,已知S₃=4，S₁₈-S₁₅=12，则S₁₈=　　　　

解析：在等差数列中，第一个三项和为4，第六个三项和为12，S₁₈即首项为4，末项为12的等差数列的6项和，为48。

[巩固]在等差数列{a_n}中,其前n项和为S_n,已知S₅=2-b,S₁₀=4-b,则S₁₅=_________

2. 等差数列{a_n}中，m+n=p+q，则a_m+a_n=a_p+a_q，等比数列{a_n}中，m+n=p+q，则a_ma_n=a_p·a_q(m、n、p、q∈)；等差(等比)数列中简化运算的技巧多源于这条性质。

[举例1]在等差数列中，为常数，则其前(　)项和也为常数

　 (A)6　(B)7　(C)11　　(D)12　　　　　　

解析：等差数列的前k项和为常数即为常数，而=3为常数，

∴2= 为常数，即前11项和为常数，选C。注意：千万不要以为=

=，那就大错特错了！所谓“下标和相等则对应项的和相等”，是指两项和等于两项和，三项和等于三项和……。等差数列中“n项和”与“两项和(转化为a₁+a_n)”有关，某一项或某几项和均需转化为“两项和”才能与“n项和”联系起来。

[举例2]等比数列{}中，a₄+a₆=3，则a₅(a₃+2a₅+a₇)=　　　 　

解析：a₅(a₃+2a₅+a₇)=a₅a₃+2a₅²+a₅a₇=a₄²+2a₄a₆+a₆²=(a₄+a₆)²=9

[巩固] 在正项的等差数列{}和正项的等比数列{}中，有，，试比较与的大小。

[迁移] 等比数列{}中，、是方程()的两根，则=　　

若把条件中的“”换成“”呢？若把条件中的“、”换成“、”

呢？

　[提高] 在等差数列中，前n项之和为,已知S₅=25,S_n=64,S_n-5=9,则 n=_____

1．公差不为0的等差数列的通项是关于n的一次函数，一次项系数是公差；前n项和是关于n的二次函数，二次项系数是公差之半且常数项为0；即等差数列{}中，=+(为公差，∈)，(∈)。证明某数列是等差(比)数列，通常利用等差(比)数列的定义加以证明，即证：a_n-a_n-1=常数(=常数) (，也可以证明连续三项成等差(比)数列。

[举例] {}、{}都是各项为正的数列，对任意的，都有、、成等差数列，、、成等比数列.试问{}是否为等差数列，为什么？

解析：由=得=，于是=(，又2=+，

∴2=+(，即2=+(，∴数列{}是等差数列。

注意：当用定义证明等差(比)数列受阻时，别忘了这“一招”！上述思路的关键是由“=”到“=(”的过渡，即所谓“升降标”，这也是处理数列问题的一个通法。

[巩固]已知等差数列的前项和为，且，则过两点

、的直线的斜率为：

(A)4　 (B)3　 (C) 2　 (D)1

[迁移]公差非零的等差数列中，前n项之和为，则数列……中
A．不存在等于零的项	B．最多有一项等于零

C．最多有2项等于零　　　　　　　　　 D．可有2项以上等于零

22．(本题满分14分)

　　 已知实数a≥，函数y=e^x-ax区间[-ln3，o)上的增函数，设函数f(x)=ax³-x　 　

　　 (I)求a的值并写出g(x)的表达式；

　　 (Ⅱ)求证：当x>o时，；

　　 (Ⅲ).