58、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知是数列的前项和，，且，其中.

(1)求数列的通项公式；

(2)(理科)计算的值. ( 文科) 求 .

解：①

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ---------2分

又也满足上式，()

数列是公比为2，首项为的等比数列　　　　　 ----------- 4分

　　　　　　　　　　　　　 -------------- 6分

②

②

　　　　　 -------------(9分)

于是　　　　 ---------------(12分)

57、已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．

　 (1)求数列的通项公式．

　 (2)若，求数列的前项和．

　 (3)设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.

解：(1)点都在函数的图像上，,

当时，

当n＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为…….3分

　 (2)由求导可得

过点的切线的斜率为，.

.

①

由①×4，得

②

①-②得：

………………………………………………………………..7分

　 (3),.

又，其中是中的最小数，.

是公差是4的倍数，.

又，,解得m＝27.

所以，

设等差数列的公差为，则

，所以的通项公式为…………12分

56、(河北省正定中学高2008届一模)设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N⁺，都有，记S_n为数列{a_n}的前n项和.

　 (1)求数列{a_n}的通项公式；

　 (2)若(为非零常数，n∈N⁺)，问是否存在整数，使得对任意 n∈N⁺，都有b_n+1>b_n.

解：(1)在已知式中，当n=1时，

　　 ∵a₁>0　 ∴a₁=1………………………………………………………………1分

　　 当n≥2时，　 ①

　　 　②

　　 ①－②得，

　　 ∵a_n>0　 ∴==2S_n－a_n

　　 ∵a₁=1适合上式…………………………3分.

　　　　　 当n≥2时， =2S_n－1－a_n－1　 ④

　　　　 ③－④得－=2(S_n－S_n－1)－a_n+a_n－1=2a_n－a_n+ a_n－1= a_n+ a_n－1

　　　　 ∵a_n+a_n－1>0　 ∴a_n－a_n－1=1

∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，可得a­_n=n………………5分

　 (2)∵

∴ ⑤………………………………………………………….7分

当n=2k－1，k=1，2，3，……时，⑤式即为　 ⑥

依题意，⑥式对k=1，2，3……都成立，∴λ<1………………………………..9分

当n=2k，k=1，2，3，…时，⑤式即为　 ⑦

依题意，⑦式对k=1，2，3，……都成立，

∴……………………………………………………………………………..11分

∴

∴存在整数λ=－1，使得对任意n∈N，都有b_n+1>b_n……………………………12分

55、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且.

　 (1)　求数列，的通项公式；

　 (2) 记,求证：.

解：(Ⅰ)∵a₃，a₅是方程的两根，且数列的公差d>0，

∴a₃=5，a₅=9，公差

∴　 ………………3分

又当n=1时，有b₁=S₁=1－

当

∴数列{b_n}是等比数列，

∴　 …………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知　 …………9分

∴

∴　 …………………………12分

54、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)已知数列中，

(1)求证：数列与都是等比数列；(2)求数列前的和；

(3)若数列前的和为，不等式对恒成立，求的最大值。

解：(1)∵，∴　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

∴数列是以1为首项，为公比的等比数列；

数列是以为首项，为公比的等比数列。　　　　　 4分

(2)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

(3)

当且仅当时取等号，所以，即，∴的最大值为－48

53、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)数列中，，(是常数，)，且成公比不为的等比数列。

(I)求的值；

(II)求的通项公式。

(III)(理做文不做)由数列中的第1、3、9、27、……项构成一个新的数列{b}，求的值。

解：(I)，，，因为，，成等比数列，

所以，解得或．

当时，，不符合题意舍去，故．……理4分(文6分)

(II)当时，由于，，……

，所以。

又，，故．当n=1时，上式也成立，所以……理8分(文12分)

(III)b_n=3^2n-2-3^n-1+2, ∴=9. ……理12分

52、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知数列的前n项和满足：(a为常数，且)．　 (Ⅰ)求的通项公式；　

(Ⅱ)设，若数列为等比数列，求a的值；

(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下，设，数列的前n项和为T_n

求证：．

解：(Ⅰ)∴

当时，

，即是等比数列． ∴；　　　　 ……………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，若为等比数列，

　则有而

故，解得，　　 ………………………………7分

再将代入得成立，

所以．　　　 ………………………………………………………………8分

(III)证明：由(Ⅱ)知，所以

，　　 ………………………………………………… 9分

由得

所以，　　　 …………………… 12分

从而

．

即．　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………………14分

51、(广东省四校联合体第一次联考)已知函数且任意的、都有

　 (1)若数列

　 (2)求的值.

解：(1)

而

　 (2)由题设，有

又

得上为奇函数.　 由

得　

于是

故

47、(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)在等差数列中，，则__________

答案：3

46、(山东省实验中学2008届高三第三次诊断性测试)给出下列命题：

①若成等比数列；

②已知函数的某两个交点的横坐标为；

③函数至多有一个交点；

④函数

其中正确命题的序号是　　　　　　　　　　　　　　　 .

答案：③④