78、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)数列，由下列条件确定：①a₁＜0，b­₁＜0.②当k≥2时，a_k和b_k满足下列条件：当.

　　 (1)若，，分别写出{a_n}、{b_n}的前四项.

　　 (2)证明数列{a_k－b_k}是等比数列.

　　 (3)设是满足b₁＞b₂＞…＞b_n的最大整数时，用a₁、b₁表示n满足的条件.

解：(1)

………………………………………………………………………(3分)

(2)当时，

当时，

又，∴数列是等比数列. ……………………………………………(9分)

(3)当b₁＞b₂＞…＞b_n(n≥2)时，b_k≠b_k-1(2≤k≤n).

由(2)知：不成立，.

从而对于2≤k≤n有a_k=a_k-1,b_k=

于是……………………………………………………………………(11分)

若，则

这与是满足b₁＞b₂＞…＞b_n(n≥2)的最大整数矛盾.

∴n是满足的最小整数.

n是满足大于的最小整数.…………………………(13分)

77、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为数列{}的前n项和为，点均在函数的图像上.

　 (I)求数列{}的通项公式；

　 (II)设，的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.

解：(I)设这二次函数，

由于，得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………2分

又因为点的图像上，

所以

当

　　　　　　　　　　 …………6分

　 (II)由(I)得知

　　　 …………7分

故

　　 …………9分

因此，要使，必须且仅须满足

即，　　　　 …………11分

所以满足要求的最小正整数m为10。　　　　　 …………12分

76、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)设不等式所表示的平面区域为，记内的格点(，)(、∈z)的个数为(∈).

　(Ⅰ) 求，的值及的表达式；

(Ⅱ)记，若对于任意∈，总有≤m成立，求实数m的取值范围；

(Ⅲ) 设为数列{}的前项和，其中＝，问是否存在正整数、t，使 ＜成立？若存在，求出正整数，t；若不存在，请说明理由.

解：(Ⅰ)＝3，＝6.　　　　 　　　………………………………………2分

由＞0，0＜≤，得0＜＜3，又∈，∴＝1，或＝2.

当＝1，0＜≤2时，共有2个格点；

当＝2，0＜≤时，共有个格点.

故　.　　 ………………………………………………………4分

(Ⅱ)由(1)知＝，则－＝.

∴当≥3时，＜.

又＝9＜＝＝，所以≤，故≥.　 ………………………8分

(Ⅲ)假设存在满足题意的和，

由(1)知＝＝，故.　　 ……………………………10分

则＜.

变形得＜，即＜0.

∴1＜(8－)＜15.

由于、均为正整数，所以＝＝1.　　　 …………………………………14分

附:,　 .

当时, 由,得,.

当时, ,由,得,不存在.

所以＝＝1.

75、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)已知函数

⑴求　

⑵若数列满足,试求的值，使得数列成等差数列。

74、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)已知数列为等差数列，，且其前项和为，又正项数列满足

⑴求数列的通项公式；

⑵比较的大小；

⑶求数列的最大项；

⑷令，数列是等比数列吗？说明理由。

解：⑴设的公差为，则

且，得，从而

故　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

⑵

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6分)

⑶由(2)猜想递减，即猜想当≥时，　　　　　　　　　　　 (8分)

考察函数，当时

故在上是减函数，而≥

所以，即

于是猜想正确，因此，数列的最大项是　　　　　　　　　　　　　　　　 (10分)

⑷不是等比数列

由知

故不是等比数列.

73、(湖北省荆门市2008届上期末)设数列的前n项和为S_n=2n²，为等比数列，且

　 (1)求数列和的通项公式；

　 (2)设，求数列的前n项和。

解：(1)：当

故{a_n}的通项公式为的等差数列.

设{b_n}的通项公式为

故 ……………6分

(2)

两式相减得

72、(湖北省荆门市2008届上期末)已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，。

(1)求数列的前项和；

(2)若对一切都有，求的取值范围。

解：(1)

当时，.　　　　…………2分

当≥2时，=，

　　　　　　　　…………4分

此时·=·，

……=　 …………6分

设……+，

……+，

　　 　…………8分

(2)由可得

　 当时，由　 可得，　

对一切都成立，此时的解为.　…………10分

　当时，由 可得

≥　 对一切都成立，

此时的解为.　　　　　　　　…………12分

由，可知，对一切都有的的取值范围是或.

71、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)已知各项均为正数的数列满足且是、的等差中项

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求使成立的正整数的最小值。

解：

　　　　　 数列的各项均为正数，，

　　　　　 即 数列是以2为公比的等比数列。

　　　　　 　是的等差中项，

　　　　　 数列的通项公式为

　(2)由(1)及，得，(6分)

　　　 　　①

　　　　　　　　　 ②

②-①得，

要使成立，只需成立，即

成立的正整数n的最小值为5。(12分)

70、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：

1

3　 5

7　　 9　　 11

－　 －　 －　 －

－　 －　 －　 －　 －

设是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往右数第个数。

(Ⅰ)若，求的值；

(Ⅱ)已知函数的反函数为，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和。

解：(Ⅰ)∵三角形数表中前行共有个数，

∴第行最后一个数应当是所给奇数列中第项，即。

因此，使得的是不等式的最小正整数解。

由得，∴。∴。

第45行第一个数是，∴

(Ⅱ)∵，∴。

∵第行最后一个数是，且有个数，若将看成第行第一个数，则第行各数成公差为的等差数列，故。∴。

故。用错位相减法可求得。

69、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)已知函数的图象按向量平移后便得到函数的图象，数列满足(n≥2，nÎN^*)．

　 (Ⅰ)若，数列满足，求证：数列是等差数列；

　 (Ⅱ)若，数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由；

　 (Ⅲ)若，试证明：．

解:，则(n≥2，nÎN^*)．

　 (Ⅰ)，，∴ (n≥2，nÎN^*)．∴数列是等差数列．

　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，数列是等差数列，首项，公差为1，则其通项公式，

由得，故．

构造函数，则．函数在区间， 上为减函数．

∴当时，，且在上递减，故当时，取最小值；当 时，，且在上递减，故当时，取最大值．故存在．

(Ⅲ)先用数学归纳法证明，再证明．

①当n＝1时，成立，

②假设n＝k时命题成立，即，

则当n＝k+1时，，，则，故当n＝k+1时也成立．

综合①②有，命题对任意nÎN^*时成立，即．下证．

∵，∴．综上所述：．

[总结点评]本题集数列、向量、函数、导数、不等式于一体，充分展示了《考试大纲》“构造有一定深度和广度的数学问题，要注重问题的多样化，体现思维的发散性”的题目，这需要我们加强这一方面的训练，需要从多层次、多角度去思考问题．