88、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2ⁿ > n²成立．

证明：(1)当时，，结论成立．

　　　　 (2)假设当时，结论成立，即：

　　　　　　 那么当时，左边=

　　　　　　　　　　　　　　 =右边．

　　　 也就是说，当时，结论成立．…………………………6分．

　　　 由(1)、(2)可知，不等式 对时恒成立．……8分．

87、(江苏省南京市2008届高三第一次调研测试)设数列{a_n},{b_n}都是等差数列，它们的前n项的和分别为S_n , T_n ，若对一切n ∈ N*，都有S_n+3 = T_n ．

(1)若a₁ ≠ b₁，试分别写出一个符号条件的数列{a_n}和{b_n}；

(2)若a₁ + b₁ = 1，数列{c_n}满足：c_n = 4 ^an + l(–1)^n–12 ^bn，且当n ∈ N*时，c_n+1 ≥ c_n恒成立，求实数l的最大值．

解：(1)答案不唯一，例如，……4分

　 (2)设数列的公差分别是，

　　　 则

　　 对一切，有，

　　 ……………………6分

　 即：

　 即…………………………………8分

………………………………………………10分

时，恒成立，

即时，恒成立

当为正奇数时，恒成立，而，；

当为正偶数时，恒成立，而，

　 　　　的最大值是．

86、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)已知数列满足。()

　 (1)证明：数列成等差数列；

　 (2)设，数列的前项的和，求证：。

解：(1)数列是以为首项，公差为的等差数列；

　 (2)

85、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)已知：

(Ⅰ)求

(Ⅱ)求数列的通项公式；

(Ⅲ)求证：

解：(Ⅰ)由已知……………………………………1分

，所以，……3分

(Ⅱ)

所以对于任意的 …………………………7分

(Ⅲ)

　 1

　 2

1-2，得

　…………9分

…………11分　 又…………12分

84、(吉林省吉林市2008届上期末)已知等比数列的前n项和为S_n=K·2ⁿ+m，k≠0,且a₁=3.

　 (1)求数列的通项公式；

　 (2)设求数列的前n项和T_n.

(1)解法一：依题意有　　 ………………2分

解得

∴公比为……………………3分

代入①得m=－3，………………5分

∴……………………6分

解法二：……………………2分

由

∴……………………4分

又……………………6分

　 (2)解，　 ④

，　 ⑤ ……………………………………8分

④－⑤得， …………………………10分

　………………………………12分

83、(黄家中学高08级十二月月考)已知数列满足且对一切,有

　 (1)求证：对一切

(2)求数列通项公式.　　 (3)求证：

(1) 证明: 　　　………. ①

　　　　 　　…………②

② - ①：　　 　

　　　　 　　()　

(2) [解]：由及

两式相减,得:

　　　 ∴.

(3) 证明: ∵

∴

∴

82、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数的定义域为，且同时满足：对任意，总有，； 若，且，则有．

(1)求的值；

(2)试求的最大值；

(3)设数列的前项和为，且满足，

　　 求证：．

解：(1)令，则，又由题意，有

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　…………………3分

　 (2)任取 且，则0<　　

　　　　　　　 的最大值为　　　　　　　 …………………6分

　　　　 (3)由　

　　　　　　　 又由　

　　　　　　 数列为首项为1，公比为的等比数列， 　………8分

　　　　　　 当时，，不等式成立，

　　　 　　　当时，

　　　　　 ，　

　　　　　　 　不等式成立

　　　　　　　 假设时，不等式成立。

　　　　　　　 即

　　　　　　　 则 当时，

　　　　　 即　 时，不等式成立

　　　　 故　 对 ，原不等式成立。　　　　　　　　　　 ……………14分

81、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)假设A型进口车关税税率在2002年是100%，在2007年是25%，2002年A型进口车每辆价格为64万元(其中含32万元关税税款)．

　(1)已知与A型车性能相近的B型国产车，2002年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2007年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？

　(2)某人在2002年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8%(5年内不变)，且每年按复利计算(上一年的利息计入第二年的本金)，那么5年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按(1)中所述降价后的B型车一辆？

解：(1)2007年A型车价为32+32×25%＝40(万元)

　设B型车每年下降d万元，2002，2003……2007年B型车价格为：(公差为-d)

　，……　∴　≤40×90%　∴　46-5d≤36　d≥2 　故每年至少下降2万元…………6分

(2)2007年到期时共有钱＞33(1+0.09+0.00324+……)＝36.07692＞36(万元)

故5年到期后这笔钱够买一辆降价后的B型车　　　　　　　　　　　 …………………12分

80、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)已知点(a_n,a_n－1)在曲线f(x)＝上, 且a₁＝1.

(1)求f(x)的定义域;

(2)求证: (n∈N*)

(3)求证: 数列{a_n}前n项和 (n≥1, n∈N*)

解:(1) 由f(x)＝知x满足: x²+ ≥0, ∴　 ≥0 , ∴≥0

∴ ≥0, 故x＞0, 或x≤－1.

f(x)定义域为: (－∞, －1]∪(0,+∞)

(2)∵ a_n+1²＝a_n²+ , 则a_n+1²－a_n² ＝ 于是有: ＝ a_n+1²－a₁² ＝ a_n+1²－1

要证明:

只需证明: 　( *) 下面使用数学归纳法证明: (n≥1,n∈N*)　 ①在n＝1时, a₁＝1, ＜a₁＜2, 则n＝1时 (* )式成立.

②假设n＝k时, 　成立, 由

要证明: 　只需2k+1≤ 只需(2k+1)³≤8k(k+1)²

只需证: 　, 只需证: 4k²+11k+8＞0, 而4k²+11k+8＞0在k≥1时恒成立.　 于是: . 因此 得证.

综合①②可知( *)式得证, 从而原不等式成立.

(3)要证明: 　,

由(2)可知只需证: 　(n≥2)　 (** )

下面用分析法证明: (**)式成立. 要使(**)成立,

只需证: (3n－2)＞(3n－1)

即只需证: (3n－2)³n＞(3n－1)³(n－1), 只需证:2n＞1. 而2n＞1在n≥1时显然成立,故(**)式得证.

于是由(**)式可知有: + +…+≤

因此有: S_n＝a₁+a₂+…+a_n≤1+2(+ +…+) ＝

79、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1升进入B内，再将B内的盐水倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的盐水的质量分数分别为，

　 (I)问至少操作多少次，A、B两容器内的盐水浓度之差小于1%？(取lg2=0.3010，lg3=0.4771)

　 (Ⅱ)求的表达式，并求的值. 雅创教育网免费注册免费下载

解：(1)；

；

的等比数列，

，

，故至少操作7次；

(2)

而.