(福建)如图，直二面角中，四边形是边长

为的正方形，，为上的点，且平面.

求证：平面(略去不写)；

求二面角的大小(略去不写)；

求点到平面的距离.

(辽宁)如图，正方体的棱长为，、分别是两条棱的中点，

、、是顶点，那么点到截面的距离是　　　　

(天津)如图，在正三棱柱中，

若二面角的大小为，

则点到直线的距离为　　　　　

如图，正方体的棱长为，是底面

的中心，则到平面的距离为　

(湖北文)如图，已知正三棱柱的侧棱长

和底面边长均为，是底面边上的中点，是侧棱

上的点，且.

求二面角的平面角的余弦值(略去不写)；

求点到平面的距离(请用多种方法，至少要用向量法)

平面，是平面的两条斜线，是在平面内的射影，，，，，则点到直线的距离为　　　　

在长方体中，，，则直线与平面的距离是　　 　　 　　 　　

如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，．是的中点．

求证：平面平面(略去不写)；　　　　　　　

求二面角所成平面角的余弦值(略去不写)；

求点到平面的距离．

如图，在长方体中，，

，.

求证：平面∥平面(略去不写)；

求平面与平面间的距离.

问题1．(江西)如图，在长方体中，，，

点在棱上移动.略；当为的中点时，求点到面的距离；略

　　　　　　　　　　　　　 　(请用多种方法，至少要用向量法)

问题2．(辽宁)如图，在直三棱柱中，，，分别为棱的中点，为棱上的点，二面角为．

证明：(此小题略去不写)；

求的长，并求点到平面的距离．

(请用多种方法，至少要用向量法)

问题3．(湖北文)在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且(≤≤)．则点到平面的距离为

问题4．(重庆)如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于、的一点，，已知，，，

，求：异面直线与的距离；略.

问题5．棱长均为的正三棱柱中，为的中点，

连结，，.求证：∥平面

(略去不写)；求到平面的距离.

七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离.

点与点的距离：解三角形及多边形；向量法：空间任意两点、间的距离即线段

的长度：设、，则

两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度.

说明：两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离

求法：直接法：求两异面直线的公垂线段的长度；

转化法：转化为线面距离或面面距离；向量法：

法一、找平面使且∥，则异面直线、的距离

就转化为直线到平面的距离，又转化为点到平面的距离．

法二、在上取一点, 在上取一点, 设、分别

为异面直线、的方向向量,求(， )，

则异面直线、的距离

(此方法移植于点面距离的求法)．

点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，

过点作，垂足为，则唯一，则是

点到平面的距离.即 一点到它在一个平面内的正射影

的距离叫做这一点到这个平面的距离.

结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短.

求法：直接法：过点作一平面与平面垂直，再过点作两平面的交线的垂线即可

等体积法：线面平行法：若过点有一直线∥平面，则直线上的任一点到平面的距离等于到点到平面的距离.线段比例转化法：平面的统一斜线上的两点到该平面的距离与这两点到斜足的距离成比例，运用此结论可转化为另一点到该平面的距离.

向量法：法一、设是平面的法向量，在内取一点,

则到的距离

法二、设于,利用和点在内的向量表示，可确定点的位置，从而求出，即直接求垂线段的长度.

直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离).

距离的共性：这其中距离中，虽然定义不同，但总具有下列几个特征：

某距离是指相应线段的长度；此线段是相关线段中最短的；除两点间的距离外，其余总与垂直相联系，由此求距离的方法就有几何法和代数等方法.

求距离的一般步骤：找出或作出相关的距离；证明它符合定义；归到某三角形或多边形中计算;作答.

(浙江)在如图所示的几何体中，平面，平面，，且，是的中点．

求证：；

求与平面所成的角．

(北京)如图，在中，，斜边．

可以通过以直线为轴旋转得到，

且二面角是直二面角．动点的斜边上．

求证：平面平面；

当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；

求与平面所成角的最大值．

v

(福建)如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

求证：平面(此小题这里略去不做)；

求二面角的大小；

求点到平面的距离．

问题1．(全国Ⅰ)四棱锥中，底面为平行四边形，

侧面底面．已知，

，，．

证明：；

求直线与平面所成角的大小．

(本小题要求用多种方法解答,包括向量法).

问题2． (届高三湖北、荆州、宜昌月模拟)

边长为的正方体中，是棱

上任一点，().

若时，求证：面面；

试确定值，使直线与平面所成的角

的正切值为.

问题3．(四川)如图，是直角梯形，，∥，

，，又，，

，直线与直线所成的角为.

求证：平面⊥平面；

求二面角的大小;

求三棱锥的体积.

(要求第小题用多种方法解答,包括向量法).

问题4．(陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，

，，平面．，，，

求证：平面(此小题这里略去不做)；求二面角的大小．

(要求第小题用多种方法解答,包括向量法).

(三)课后作业：

如图所示，在棱长为的正方体中，

是底面的中心，，分别是，的

中点.那么异面直线和所成角的余弦值等于　　　

(浙江文)在三棱锥中，，

点、分别是、的中点，底面.

求证：平面；

求直线与平面所成角的大小

如图，的边长为，，，

都垂直于平面，且，

，点为的中点，求直线

与平面所成的角.　　　　　

三垂线定理(课本)：在平面内的一条直线，如果和

这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

三垂线的逆定理(课本)：在平面内的一条直线，如果和

这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.

　空间角的计算步骤　 一作、二证、三算.

异面直线所成角：范围：；计算方法:

①平移法：一般情况下应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移.②向量法：设、分别为异面直线、的方向向量,

则两异面直线所成的角；③补体法；

④证明两条异面直线垂直,即所成角为.

直线与平面所成的角：①定义：(课本)平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角.②范围 ；③最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.⑤斜线与平面所成角的计算：直接法：关键是作垂线，找射影 可利用面面垂直的性质； 平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角.也可平移平面通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离，计算这点与斜足之间的线段长，则.

应用结论：如右图所示，，为垂足，为斜足，

，与平面所成的角为，，

，则.

向量法：设是斜线的方向向量，是平面

的法向量，则斜线与平面所成的角.

二面角：①定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，

其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面

所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，

每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为，当两个半平面合成一个平面时，二面角为，因此，二面角的大小范围为.②确定二面角的方法：定义法；三垂线定理及其逆定理法；垂面法；射影面积法：，此方法常用于无棱二面角大小的计算；无棱二面角也可以先根据线面性质恢复二面角的棱，然后再用方法、计算大小；向量法：法一、在内，在内，其方向如左图，则二面角 的平面角

；其方向如右图，

则二面角的平面角

(同等异补)

法二、设,是二面角的两个半平面

的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向

外侧(同等异补)，则二面角的平面角

(陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，

，，平面．，，，

求证：平面；略．

问题1．(福建)如图，正三棱柱

的所有棱长都为，为中点．

求证：平面；略； 略.

(要求可用多种方法,至少要用向量法证明)

问题2．(湖北)如图，在三棱锥中，底面，

，是的中点，且，

．

求证：平面；略.

问题3． (安徽)如图，在六面体中，四边形

是边长为的正方形，四边形是边长为的正方形，

平面，平面，．

求证：与共面，与共面．

求证：平面平面；略．

(四)课后作业：

如图所示，正方形中，、分别是、

的中点，将此正方形沿折成直二面角后，异面直线

与所成角的余弦值为　　　　　　　 .

(届高三湖北八校联考)

如图，在四棱锥中，平面，

平面，，

。求证：平面平面 ；略.

线面垂直的证明：判定定理；如果两条平行线中一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面；一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面；两个平面垂直,在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.如果两个相交平面都与第三个平面垂直,那么它们的交线与第三个平面垂直.　　　　　　　　　　　

向量法：

面面垂直的证明：计算二面角的平面角为 ；如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直;