12.(2009安徽卷理)(本小题满分12分)

　已知函数，讨论的单调性.

本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。

解：的定义域是(0,+), 21世纪教育网　 　

设,二次方程的判别式.

①　　 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。

②　　 当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 　　　　

③　　 当，即时，

方程有两个不同的实根,,.

	+	0	_	0	+
	单调递增	极大	单调递减	极小	单调递增

此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.

11.(2009广东卷理)(本小题满分14分)

已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．

(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；

(2)如何取值时，函数存在零点，并求出零点． 　　　　　　

解：(1)依题可设 ()，则；

　　 又的图像与直线平行　 　　　

　　 ， ，　

设，则 21世纪教育网　 　

当且仅当时，取得最小值，即取得最小值

当时，　 解得

当时，　 解得

　 (2)由()，得　

当时，方程有一解，函数有一零点；

当时，方程有二解，

若，，

函数有两个零点，即；

若，，

函数有两个零点，即；

当时，方程有一解,　 ,

函数有一零点

综上，当时, 函数有一零点；

当()，或()时，

函数有两个零点；

当时，函数有一零点.

10.设函数，其中常数a>1

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。21世纪教育网　　

解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

解： (I) 21世纪教育网　　

　　　 由知，当时，，故在区间是增函数；

　　　　 当时，，故在区间是减函数；

　　　　 当时，，故在区间是增函数。

　　　　 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。

　　 (II)由(I)知，当时，在或处取得最小值。

由假设知21世纪教育网　　

　　　　　　 即　　 解得　 1<a<6

故的取值范围是(1，6)

9.(2009山东卷文)(本小题满分12分)

已知函数,其中 　　　

(1)　　　 当满足什么条件时,取得极值?

(2)　　　 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.

解:　 (1)由已知得,令,得,

要取得极值,方程必须有解,

所以△,即,　 此时方程的根为

,,

所以 　　　

当时,

所以在x ₁, x₂处分别取得极大值和极小值.

当时, 　　　

所以在x ₁, x₂处分别取得极大值和极小值.

综上,当满足时, 取得极值. 　　　

(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.

即恒成立,　 所以

设,,

令得或(舍去), 　　　

当时,,当时,单调增函数;

当时,单调减函数,

所以当时,取得最大,最大值为.

所以

当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以

综上,当时, ;　　 当时, 　　　

[命题立意]:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.

8.(2009山东卷理)(本小题满分12分)

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

(1)将y表示成x的函数；

(11)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。

解法一:(1)如图,由题意知AC⊥BC,,

其中当时，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函数为

(2),,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.

解法二: (1)同上.

(2)设,

则,,所以

当且仅当即时取”=”.

下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.

设0<m₁<m₂<160,则

,

因为0<m₁<m₂<160,所以4>4×240×240

9 m₁m₂<9×160×160所以,

所以即函数在(0,160)上为减函数.

同理,函数在(160,400)上为增函数,设160<m₁<m₂<400,则

因为1600<m₁<m₂<400,所以4<4×240×240, 9 m₁m₂>9×160×160

所以,

所以即函数在(160,400)上为增函数.

所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,

所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.

[命题立意]:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.

7.(2009江苏卷)(本小题满分16分)

设为实数，函数.

(1)若，求的取值范围；

(2)求的最小值；

(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.

[解析]本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分

(1)若，则

(2)当时，

　 当时，

　 综上

(3)时，得，

当时，；

当时，△>0,得：

讨论得：当时，解集为;

当时，解集为;

当时，解集为.

6.(2009北京理)(本小题共13分)

设函数

(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；

(Ⅱ)求函数的单调区间；

(Ⅲ)若函数在区间内单调递增，求的取值范围.

21世纪教育网　　　　　 　[解析]本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．

(Ⅰ),

　　　　　　 曲线在点处的切线方程为.

(Ⅱ)由，得，

　　　 若，则当时，，函数单调递减，

　　　　　　　 当时，，函数单调递增，

　　 若，则当时，，函数单调递增，

　　　 当时，，函数单调递减，

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，若，则当且仅当，

即时，函数内单调递增，

若，则当且仅当，

即时，函数内单调递增，

综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.

5.(2009北京文)(本小题共14分)

设函数.

(Ⅰ)若曲线在点处与直线相切，求的值；

(Ⅱ)求函数的单调区间与极值点.

[解析]本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．

(Ⅰ),

∵曲线在点处与直线相切，

∴

(Ⅱ)∵,

当时，，函数在上单调递增，

此时函数没有极值点.

当时，由，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

∴此时是的极大值点，是的极小值点.

4.(2009浙江文)(本题满分15分)已知函数 ．

　 (I)若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；

　 (II)若函数在区间上不单调，求的取值范围．

解析：(Ⅰ)由题意得

　　　 又 ，解得，或

　　 (Ⅱ)函数在区间不单调，等价于

　　　　　 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数

　　　　　 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有

　　　　　 ，　 即：

　　　 整理得：，解得

3.(2009浙江理)(本题满分14分)已知函数，，

其中．21世纪教育网　　

　 (I)设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；

　 (II)设函数　 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一

的非零实数()，使得成立？若存在，求的值；若不存

在，请说明理由．

解析：(I)因，，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 21世纪教育网　 　

，令有，记则在上单调递减，在上单调递增，所以有，于是，得，而当时有在上有两个相等的实根，故舍去，所以；21世纪教育网　　

(II)当时有；

当时有，因为当时不合题意，因此，

下面讨论的情形，记A，B=(ⅰ)当时，在上单调递增，所以要使成立，只能且，因此有，(ⅱ)当时，在上单调递减，所以要使成立，只能且，因此，综合(ⅰ)(ⅱ)；

当时A=B，则，即使得成立，因为在上单调递增，所以的值是唯一的；

同理，，即存在唯一的非零实数，要使成立，所以满足题意．21世纪教育网