22.(2009辽宁卷文)(本小题满分12分)

设，且曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与x轴平行。

(I)　　　　　　　　　 求a的值，并讨论f(x)的单调性；

(II)　　　　　　　 证明：当 　　　　　　

解：(Ⅰ).有条件知，

　 　　　　　，故.　　　　　　　　　　　　 ………2分

　　　 于是.

　　　 故当时，＜0； 　　　　　

　　　 当时，＞0.

　　　 从而在，单调减少，在单调增加.　　　　 ………6分

　　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在单调增加，故在的最大值为，

最小值为. 　　　　　　

　　 　从而对任意，，有.　　　　　　 ………10分

　　　 而当时，.

　　　 从而　　 　　　　　　　　　　　　　　　　………12分

21.(2009福建卷理)(本小题满分14分)

已知函数,且　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；

(2)令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(),　 ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

(I)若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

(II)若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程)　　　　　　　　　　　　　　　　　

解法一:

(Ⅰ)依题意,得

由.

从而

令 21世纪教育网　 　

①当a>1时,

当x变化时，与的变化情况如下表：

x
	+	－	+
	单调递增	单调递减	单调递增

由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。

②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R

③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 21世纪教育网　 　

综上：

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；

当时，函数的单调增区间为R；

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.

(Ⅱ)由得令得

由(1)得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M()N()。

观察的图象，有如下现象：

①当m从-1(不含-1)变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。

②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；

③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；

线段MP的斜率Kmp

当Kmp－=0时，解得

直线MP的方程为 21世纪教育网　 　

令

当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。

当时，.

所以存在使得

即当MP与曲线有异于M,P的公共点21世纪教育网　 　

综上，t的最小值为2.

(2)类似(1)于中的观察，可得m的取值范围为

解法二：

(1)同解法一.

(2)由得，令，得

由(1)得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()

　(Ⅰ) 直线MP的方程为

由

得

线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数

上有零点.

因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.

又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.

等价于　　　　 即

又因为,所以m 的取值范围为(2,3)

从而满足题设条件的r的最小值为2.

20.(2009湖南卷文)(本小题满分13分)

已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.

(Ⅰ)求b的值；

(Ⅱ)若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。

解: (Ⅰ).因为函数的图象关于直线x=2对称，

所以，于是　　

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，.

(ⅰ)当c 　12时，，此时无极值。　　

(ii)当c<12时，有两个互异实根,.不妨设＜，则＜2＜.

当x＜时，， 在区间内为增函数；　　 21世纪教育网　 　

当＜x＜时，，在区间内为减函数;

当时，，在区间内为增函数.　　

所以在处取极大值，在处取极小值.

因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.

于是的定义域为.由 得.

于是　　 .

当时，所以函数

在区间内是减函数，故的值域为　　　　　　 21世纪教育网　 　

19.(2009全国卷Ⅱ理)(本小题满分12分)

设函数有两个极值点，且

(I)求的取值范围，并讨论的单调性；

(II)证明： 　　　　　　

解: (I)

　 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得

⑴当时，在内为增函数；21世纪教育网　 　

⑵当时，在内为减函数；

⑶当时，在内为增函数；

(II)由(I)，

设，

则

⑴当时，在单调递增；

⑵当时，，在单调递减。21世纪教育网　 　

故． 　　　　　　　

18.(2009四川卷文)(本小题满分12分)

已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。

(I)求函数的解析式；

(II)设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.

[解析](I)由已知,切点为(2,0),故有,即……①

又，由已知得……②

联立①②，解得.

所以函数的解析式为　　 …………………………………4分

(II)因为

令

当函数有极值时，则，方程有实数解， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　21世纪教育网　 　

由，得.

①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值

②当时，有两个实数根情况如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在时，函数有极值；

当时，有极大值；当时，有极小值；

　 …………………………………12分

17.(2009湖北卷理)(本小题满分14分) (注意：在试题卷上作答无效)

　　 在R上定义运算(b、c为实常数)。记，，.令.

如果函数在处有极什,试确定b、c的值；

求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；

记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。

解当得对称轴x=b位于区间之外21世纪教育网　 　

此时

由 　　　　　　　　　

①　　 若

于是

②　　 若，则，

于是

综上，对任意的b、c都有

而当，时，在区间上的最大值 21世纪教育网　 　

故对任意的b，c恒成立的k的最大值为 　　　　　　　　　

16.(2009天津卷文)(本小题满分12分)

设函数

(Ⅰ)当曲线处的切线斜率

(Ⅱ)求函数的单调区间与极值；

(Ⅲ)已知函数有三个互不相同的零点0，，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。

[答案](1)1(2)在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=

函数在处取得极小值，且=

[解析]解：当

所以曲线处的切线斜率为1. 21世纪教育网　 　

(2)解：，令，得到

因为

当x变化时，的变化情况如下表：

	+	0	-	0	+
		极小值		极大值

在和内减函数，在内增函数。

函数在处取得极大值，且=

函数在处取得极小值，且=

(3)解：由题设，

所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得

因为

若，而，不合题意

若则对任意的有

则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得 21世纪教育网　 　

综上，m的取值范围是

[考点定位]本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。

15.(2009江西卷理)(本小题满分12分)

设函数

(1)　　　 求函数的单调区间；21世纪教育网　　　　　

(2)　　　 若，求不等式的解集．

解： (1)　 , 由,得 .

因为 当时,； 当时,； 当时,；

所以的单调增区间是:； 单调减区间是: .

(2)　　　　　　　　　 由　 ,

　得：.　

故：当 时, 解集是：；

当 时，解集是： ；

当 时, 解集是：. 21世纪教育网　　　　　

14.(2009江西卷文)(本小题满分12分)

设函数．　　　　　

(1)对于任意实数，恒成立，求的最大值；

(2)若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．　　　　　

解：(1) ,

　　　 因为,, 即 恒成立,

　　　 所以 , 得，即的最大值为

　　　 (2)　 因为 当时, ;当时, ;当时, ;

　　　　　 所以 当时,取极大值 ;　　　　　　

　　　　　 当时,取极小值 ;

　　　　 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.

13.(2009安徽卷文)(本小题满分14分)

　已知函数，a＞0，21世纪教育网　　　　　

(Ⅰ)讨论的单调性；

(Ⅱ)设a=3，求在区间{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。

[思路]由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。

[解析](1)由于

令 21世纪教育网　　　

①当,即时, 恒成立.

在(－∞,0)及(0,+∞)上都是增函数.

②当,即时21世纪教育网　 　

由得或 21世纪教育网　　　

或或

又由得

综上①当时, 在上都是增函数.

②当时, 在上是减函数, 21世纪教育网　 　

在上都是增函数.

(2)当时,由(1)知在上是减函数.

在上是增函数.

又 21世纪教育网　 　

函数在上的值域为 21世纪教育网