32.(2009四川卷理)(本小题满分12分)

已知函数。

(I)求函数的定义域，并判断的单调性；

(II)若

(III)当(为自然对数的底数)时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。

本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。

解：(Ⅰ)由题意知

当

当

当….(4分)

(Ⅱ)因为

由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0<a<1.

所以 21世纪教育网　 　

(Ⅲ)

令

①　　 当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值

②　　 当时，有两个实根

当x变化时，、的变化情况如下表所示：

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

的极大值为，的极小值为

③　　 当时，在定义域内有一个实根，

同上可得的极大值为

综上所述，时，函数有极值；

当时的极大值为，的极小值为

当时，的极大值为 　　　

31.(2009天津卷理)(本小题满分12分)

　　 　已知函数其中

(1)　　　 当时，求曲线处的切线的斜率； 　　

(2)　　　 当时，求函数的单调区间与极值。 　　

本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。

(I)解：

(II) 　　　

以下分两种情况讨论。

(1)＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

(2)＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

30.(2009湖南卷理)(本小题满分13分)

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。

　 (Ⅰ)试写出关于的函数关系式；

　 (Ⅱ)当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？

解 (Ⅰ)设需要新建个桥墩，

所以　

　　 (Ⅱ)　 由(Ⅰ)知，

　 令，得，所以=64 21世纪教育网　 　

　 当0<<64时<0，　 在区间(0，64)内为减函数； 　　　　　

当时，>0. 在区间(64，640)内为增函数，

所以在=64处取得最小值，此时，

故需新建9个桥墩才能使最小。

29.(2009宁夏海南卷文)(本小题满分12分)

已知函数.

(1)　　 设，求函数的极值；

(2)　　 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 　　　　　

(21)解：

(Ⅰ)当a=1时，对函数求导数，得21世纪教育网　 　

　　　 令 　　　　　　

列表讨论的变化情况：

			(-1，3)	3
	+	0	-	0	+
		极大值6		极小值-26

所以，的极大值是，极小值是

(Ⅱ)的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.

若上是增函数，从而 　　　　　

上的最小值是最大值是

由于是有 　　　　　

由

所以 　　　　　　

若a>1,则不恒成立.

所以使恒成立的a的取值范围是 　　　　　　

28.(2009湖北卷文)(本小题满分14分) 　　

　　　　　 已知关于x的函数f(x)＝+bx²+cx+bc,其导函数为f⁺(x).令g(x)＝∣f⁺(x) ∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.

　 (Ⅰ)如果函数f(x)在x＝1处有极值-，试确定b、c的值：

　 (Ⅱ)若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2: 　　　

　 (Ⅲ)若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想(满分14分)

(I)解：，由在处有极值

可得

解得或

若，则，此时没有极值；

若，则

当变化时，，的变化情况如下表：

				1
		0	+	0
		极小值		极大值

当时，有极大值，故，即为所求。

(Ⅱ)证法1：

当时，函数的对称轴位于区间之外。

在上的最值在两端点处取得

故应是和中较大的一个

即

证法2(反证法)：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，

在上的最值在两端点处取得。

故应是和中较大的一个

假设，则

　　　 21世纪教育网　 　

将上述两式相加得：

，导致矛盾，

(Ⅲ)解法1：

(1)当时，由(Ⅱ)可知；

(2)当时，函数)的对称轴位于区间内， 　　

此时

由有

①若则，

于是

②若，则

于是

综上，对任意的、都有

而当时，在区间上的最大值

故对任意的、恒成立的的最大值为。

解法2：

(1)当时，由(Ⅱ)可知； 　　

(2)当时，函数的对称轴位于区间内，

此时

，即

下同解法1

27.(2009四川卷文)(本小题满分12分)

已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。

(I)求函数的解析式；

(II)设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.

[解析](I)由已知,切点为(2,0),故有,即……①

又，由已知得……②

联立①②，解得.

所以函数的解析式为　　 …………………………………4分

(II)因为 21世纪教育网　 　

令

当函数有极值时，则，方程有实数解，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由，得.

①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值

②当时，有两个实数根情况如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在时，函数有极值；

当时，有极大值；当时，有极小值；

　 …………………………………12分

26.(2009陕西卷理)(本小题满分12分)

已知函数，其中

若在x=1处取得极值，求a的值；21世纪教育网　 　

求的单调区间；

(Ⅲ)若的最小值为1，求a的取值范围。　　

解(Ⅰ)

∵在x=1处取得极值，∴解得

(Ⅱ)

∵　　 ∴

①当时，在区间∴的单调增区间为

②当时，

由

∴

(Ⅲ)当时，由(Ⅱ)①知，

当时，由(Ⅱ)②知，在处取得最小值

综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是

25.(2009陕西卷文)(本小题满分12分)

已知函数

求的单调区间；

若在处取得极值，直线y=my与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。

21世纪教育网解析：(1)

当时，对，有

当时，的单调增区间为

当时，由解得或；

由解得，

当时，的单调增区间为；的单调减区间为。

(2)因为在处取得极大值，

所以

所以

由解得。

由(1)中的单调性可知，在处取得极大值，

在处取得极小值。

因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，

结合的单调性可知，的取值范围是。

24.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)

已知函数

(I)　　　　　　　　　　 如，求的单调区间；

(II)　　　　　　　　 若在单调增加，在单调减少，证明

＜6. 　　　　

　(21)解：

(Ⅰ)当时，，故 　　　

当

当

从而单调减少.

(Ⅱ)

由条件得：从而

因为所以

将右边展开，与左边比较系数得，故

又由此可得 21世纪教育网　 　

于是 　　　

23.(2009辽宁卷理)(本小题满分12分)

已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。

(1)讨论函数的单调性； 　　　　

(2)证明：若，则对任意x，x，xx，有。

解：(1)的定义域为。

2分

(i)若即,则

故在单调增加。

(ii)若,而,故,则当时，;

当及时，

故在单调减少，在单调增加。

(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.

(II)考虑函数

则

由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有·········12分