2.(09年福建龙岩)26．(14分)如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D(5，2)，连结BC、AD.

(1)求C点的坐标及抛物线的解析式；

(2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　再沿x轴对折得到

△BEF(点C与点E对应)，判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；

(3)设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

(09年福建龙岩26题解析)解：(1)∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB，

　　　　 又D(5，2)，

　　　　 ∴C(0，2)，OC=2 . …………………………… 2分

　　　　 ∴　　 解得

　　　　 ∴抛物线的解析式为： …… 4分

　　 (2)点E落在抛物线上. 理由如下：……… 5分

　　　　 由y = 0，得.

　　　　 解得x₁=1，x₂=4. ∴A(4，0)，B(1，0).　 ……………………………… 6分

　　　　 ∴OA=4，OB=1.

　　　　 由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，

　　　　 由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，

　　　　 ∴点E的坐标为(3，－1).　 ………………………………………………… 7分

　　　　 把x=3代入，得，

　　　　 ∴点E在抛物线上. …………………………………………………………… 8分

　　 (3)法一：存在点P(a，0)，延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1.

　　　　　　　　 S_梯形BCGF = 5，S_梯形ADGF = 3，记S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，

下面分两种情形：

　　　　　 ①当S₁∶S₂ =1∶3时，，

此时点P在点F(3，0)的左侧，则PF = 3－a，

由△EPF∽△EQG，得，则QG=9－3a，

∴CQ=3－(9－3a) =3a －6

由S₁=2，得，解得；………………… 11分

　　　　　　　 ②当S₁∶S₂=3∶1时，

此时点P在点F(3，0)的右侧，则PF = a－3，

由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +(3 a－9)= 3 a－6，

由S₁= 6，得，解得.

综上所述：所求点P的坐标为(，0)或(，0)……… 14分

　　 法二：存在点P(a，0). 记S_梯形BCQP = S₁，S_梯形ADQP = S₂，易求S_梯形ABCD = 8.

当PQ经过点F(3，0)时，易求S₁=5，S₂ = 3，

此时S₁∶S₂不符合条件，故a≠3.

设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则，解得，

∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q(3a－6，2) ……… 10分

∴CQ = 3a－6，BP = a－1，.

下面分两种情形：

①当S₁∶S₂ = 1∶3时，= 2；

　 ∴4a－7 = 2，解得；……………………………………………… 12分

②当S₁∶S₂ = 3∶1时，；

　 ∴4a－7 = 6，解得；

综上所述：所求点P的坐标为(，0)或(，0)………… 14分

[说明：对于第(3)小题，只要考生能求出或两个答案，就给6分. ]

1.(09年安徽)23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示．

(1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．

[解]

(2)写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量m(kg)之间的

函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什

么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．

[解]

(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函

数关系如图(2)所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，

且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，

使得当日获得的利润最大．

[解]

(09年安徽23题解析)(1)解：图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，

可按5元/kg批发；……3分

图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发．

………………………………………………………………3分

(2)解：由题意得：，函数图象如图所示．

………………………………………………………………7分

由图可知资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可

批发到较多数量的该种水果．……………………………8分

(3)解法一：

设当日零售价为x元，由图可得日最高销量

当m＞60时，x＜6.5

由题意，销售利润为

………………………………12分

当x＝6时，，此时m＝80

即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，

当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分

解法二：

设日最高销售量为xkg(x＞60)

则由图②日零售价p满足：，于是

销售利润………………………12分

当x＝80时，，此时p＝6

即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，

当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分

24.(09年广西河池)26． (本小题满分12分)

如图12，已知抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，抛物线的对称轴交轴于点E，点B的坐标为(，0)．

(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标；

(2)在平面直角坐标系中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

(09年广西河池25题解析)(1)① 对称轴···································· (2分)

② 当时，有

解之，得 ，

∴ 点A的坐标为(，0)．·································································· (4分)

(2)满足条件的点P有3个，分别为(，3)，(2，3)，(，)．······· (7分)

(3)存在．··········································································································· (8分)

当时，　 ∴ 点C的坐标为(0，3)

∵ DE∥轴，AO3，EO2，AE1，CO3

∴ ∽　 ∴ 　　即 　∴ DE1············· (9分)

∴ 4

在OE上找点F，使OF，此时2，直线CF把四边形DEOC

分成面积相等的两部分，交抛物线于点M．························································ (10分)

设直线CM的解析式为，它经过点．

则 ·························································································· (11分)

解之，得 　　∴ 直线CM的解析式为 ·························· (12分)

23.(09年广西桂林)26．(本题满分12分)如图，已知直线，它与轴、轴的交点

分别为A、B两点．

(1)求点A、点B的坐标；

(2)设F是轴上一动点，用尺规作图作出⊙P，使⊙P经过点B且与轴相切于点F(不写作法和证明，保留作图痕迹)；

(3)设(2)中所作的⊙P的圆心坐标为P()，求与的函数关系式；

(4)是否存在这样的⊙P，既与轴相切又与直线相切于点B，若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．

(09年广西桂林26题解析)解(1)A(，0)，B(0，3)····· 2分(每对一个给1分)

(2)满分3分．其中过F作出垂线1分，作出BF中垂线1分，找出圆心并画出⊙P给1分．

　　 (注：画垂线PF不用尺规作图的不扣分)

(3)过点P作PD⊥轴于D，则PD=，BD=，·········· 6分

PB=PF=，∵△BDP为直角三形，

∴

∴···························· 7分

即

即

∴与的函数关系为·········································································· 8分

(4)存在

解法1：∵⊙P与轴相切于点F，且与直线相切于点B

∴················································································································ 9分

∵

∴

∵AF=　 ，　 ∴··········································································· 10分

∴········································································································ 11分

把代入，得

∴点P的坐标为(1，)或(9，15)····································································· 12分

22.(09年广西崇左)25．(本小题满分16分)

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点，点，如图所示：抛物线经过点．

(1)求点的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)在抛物线上是否还存在点(点除外)，使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

(09年广西崇左25题解析)(1)过点作轴，垂足为，

；················································· 1分

又，

，··············································· 2分

·································· 3分

点的坐标为；············································ 4分

(2)抛物线经过点，则得到，························ 5分

解得，所以抛物线的解析式为；············································· 7分

(3)假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：

若以点为直角顶点；

则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，··························· 8分

过点作轴，

；

·································································································· 10分

，可求得点；·········································· 11分

若以点为直角顶点；

则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，·············· 12分

过点作轴，同理可证；··············································· 13分

，可求得点；················································ 14分

经检验，点与点都在抛物线上．···························· 16分

21.(09年广西来宾)26．(本小题满分12分)

当x＝2时，抛物线y＝ax²+bx+c取得最小值－1，并且抛物线与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A、B．

(1)求该抛物线的关系式；

(2)若点M(x，y₁)，N(x+1，y₂)都在该抛物线上，试比较y₁与y₂的大小；

(3)D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点(A、C两端点除外)，过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．

(09年广西来宾26题解析)解：(1)由题意可设抛物线的关系式为y＝a(x－2)²－1　　　　　 …………1分

因为点C(0，3)在抛物线上

所以3＝a(0－2)²－1，即a＝1　　　　　 …………………………2分

所以，抛物线的关系式为y＝(x－2)²－1＝x²－4 x+3　　 ……3分

(2)∵点M(x，y₁)，N(x+1，y₂)都在该抛物线上

∴y₁－y₂＝(x²－4 x+3)－[(x+1)²－4(x+1)+3]＝3－2 x …………4分

当3－2 x＞0，即时，y₁＞y₂　　　　 ………………………………5分

当3－2 x＝0，即时，y₁＝y₂　　　　 ………………………………6分

当3－2 x＜0，即时，y₁＜y₂　　　　 ………………………………7分

(3)令y＝0，即x²－4 x+3＝0，得点A(3,0)，B(1,0)，线段AC的中点为D(,)

直线AC的函数关系式为y＝－x+3　　　　 ………………………………8分

因为△OAC是等腰直角三角形，所以，要使△DEF与△OAC相似，△DEF也必须是等腰直角三角形．由于EF∥OC，因此∠DEF＝45°，所以，在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点．

①当F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△ACO，DF所在直线为

由，解得，(舍去)　　　 ……9分

将代入y＝－x+3，得点E(，)　　 …………10分

②当D为直角顶点时，DF⊥AC，此时△DEF∽△OAC，由于点D为线段AC的中点，因此，DF所在直线过原点O，其关系式为y＝x．

解x²－4 x+3＝x，得，(舍去)　　　　　　　 …………11分

将代入y＝－x+3，得点E(，)　　 …………12分

20.(09年广东)22. 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，

(1)证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN；

(2)设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM ∽Rt△AMN，

求此时x的值.

(09年广东22题解析)(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠ABM+∠BAM=90°

∵∠ABM+∠CMN+∠AMN=180°，∠AMN=90°∴∠AMB+∠CMN=90°∴∠BAM=∠CMN

∴Rt△ABM∽Rt△MCN

(2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴即解得：

∵　　 ∴,

　即：

又∵

∴当x=2时，y有最大值10.

∴当M点运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积是10.

(3)∵Rt△ABM∽Rt△MCN，∴，即

化简得：，解得：x=2

∴当M点运动到BC的中点时Rt△ABM ∽Rt△AMN，此时x的值为2.

19．(09年广东肇庆)25．(本小题满分 10 分)

如图 9，的直径和是它的两条切线，切于E，交AM于D，

交BN 于C．设．

(1)求证：；

(2)求关于的关系式；

(3)求四边形的面积S，并证明：．

(09年广东肇庆25题解析)(1)证明：∵AB是直径，AM、BN是切线，

∴，∴．················· (2 分)

解：(2)过点D作 于F，则．

由(1)，∴四边形为矩形.

∴，．································ (3 分)

∵DE、DA，CE、CB都是切线，

∴根据切线长定理，得

，．··································· (4 分)

在中，，

∴，················································································· (5 分)

化简，得．······················································································· (6分)

(3)由(1)、(2)得，四边形的面积，

即．···························································································· (8分)

∵，当且仅当时，等号成立．

∴，即．··················································································· (10分)

18.(09年广东湛江)28．已知矩形纸片的长为4，宽为3，以长所在的直线为轴，为坐标原点建

立平面直角坐标系；点是边上的动点(与点不重合)，现将沿翻折

得到，再在边上选取适当的点将沿翻折，得到，使得

直线重合．

(1)若点落在边上，如图①，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；

(2)若点落在矩形纸片的内部，如图②，设当为何值时，取得最大值？

(3)在(1)的情况下，过点三点的抛物线上是否存在点使是以为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标

(09年广东湛江28题解析)解：(1)由题意知，均为等腰直角三角形，

可得······················································································· 2分

设过此三点的抛物线为则

过三点的抛物线的函数关系式为··································· 4分

(2)由已知平分平分且重合，则

又

．

．

即······················································································· 6分

当时，有最大值··················································································· 8分

(3)假设存在，分两种情况讨论：

①当时，由题意可知，且点在抛物线上，故点与点重合，所求的点为(0，3)　 9分

②当时，过点作平行于的直线，假设直线交抛物线于另一点点，直线的方程为，将直线向上平移2个单位与直线重合，直线的方程为 10分

由得或

又点

故该抛物线上存在两点满足条件．························································· 12分

说明：以上各题如有其他解(证)法，请酌情给分．

17.(09年广东深圳)23．(本题10分)已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合(其中OA<OB)，直角顶点C落在y轴正半轴上(如图11)。

(1)求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。(4分)

(2)如图12，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0，n>0)，连接DP交BC于点E。

②又连接CD、CP(如图13)，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。(3分)

(09年广东深圳23题解析)

(1)　　　 由Rt△AOC∽Rt△COB易知，CO²=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4

∴A(-1,0)　 B(4,0)　 C(0,2) 可设解析式为y=a(x+1)(x-4),将点C(0,2)代入，可求a=

∴为所求

(2)　　　 ；　 提示：直线BC的解析式为设，利用勾股定理和点在直线BC上，可得两个方程组　 分别可求和

(3)　　　 过D作X轴的垂线，交PC于M，易求PC的解析式为，且，故

故，当时，，