2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为(　 )

A.2　　　　　　 B.2　　　　　 C.6　　　　　　 D.12

1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是(　　 )

A.60°　　　　 B.30°　　　　　 C.135°　　　　 D.45°

例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120^o，求a·b.

例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60^o求(a+2b)·(a-3b).

例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.

例4 判断正误，并简要说明理由.

①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④｜a·b｜＝｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0；⑥a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，с都有(a·b)с＝a(b·с)；⑧a与b是两个单位向量，则a²＝b².

解：上述8个命题中只有③⑧正确；

对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0；对于②：应有0·a＝0；

对于④：由数量积定义有｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜·｜cosθ｜≤｜a｜｜b｜，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜；

对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；

对于⑥：由a·b＝0可知a⊥b可以都非零；

对于⑦：若a与с共线，记a＝λс.

则a·b＝(λс)·b＝λ(с·b)＝λ(b·с)，

∴(a·b)·с＝λ(b·с)с＝(b·с)λс＝(b·с)a

若a与с不共线，则(a·b)с≠(b·с)a.

评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.

例6 已知｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.

解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，

∴a·b＝｜a｜·｜b｜cos0°＝3×6×1＝18；

若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，

∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×(-1)＝－18；

②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，

∴a·b＝0；

③当a与b的夹角是60°时，有

a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×＝9

评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能.

5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

1°　 e×a = a×e =|a|cosq

2°　 a^b Û a×b = 0

3°　 当a与b同向时，a×b = |a||b|；当a与b反向时，a×b = -|a||b|. 特别的a×a = |a|²或

4°　 cosq =

5°　 |a×b| ≤ |a||b|

4．向量的数量积的几何意义：

数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.

3．“投影”的概念：作图

定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.

投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |b|；当q = 180°时投影为 -|b|.

2．平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，

(0≤θ≤π).并规定0与任何向量的数量积为0.

×探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.

(3)在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.

(4)已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c.但是a×b = b×c a = c

　 如右图：a×b = |a||b|cosb = |b||OA|，b×c = |b||c|cosa = |b||OA|

Þ a×b = b×c　 但a ¹ c

　(5)在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c)

　 　　　　　　　显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.

说明：(1)当θ＝0时，a与b同向；

(2)当θ＝π时，a与b反向；

(3)当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b；

(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0°≤q≤180°

10．力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F与s的夹角.

9.线段定比分点坐标公式的向量形式：

在平面内任取一点O，设＝a，＝b，

可得=.