Question

7．小东同学在学习了二次函数图象以后，自己提出了这样一个问题：
探究：函数$y=\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{x-1}$的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数$y=\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{x-1}$的图象与性质进行了如下探究：下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）函数$y=\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{x-1}$的自变量x的取值范围是x≠1；
（2）下表是y与x的几组对应值．

x

…

-2

-1

0

$\frac{1}{2}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{4}{3}$

$\frac{3}{2}$

2

3

4

…

y

…

$\frac{25}{6}$

$\frac{3}{2}$

$-\frac{1}{2}$

$-\frac{15}{8}$

$-\frac{53}{18}$

$\frac{55}{18}$

$\frac{17}{8}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{5}{2}$

m

…

则m的值是$\frac{29}{6}$；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）小东进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是$（2，\frac{3}{2}）$，结合函数的图象，
写出该函数的其他性质（一条即可）：当x＜1时，y随x的增大而减小．

Answer 1

分析 （1）分式的分母不等于零；
（2）根据图表可知当x=4时的函数值为m，把x=4代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．

解答 解：（1）由$y=\frac{1}{2}{（x-1）^2}+\frac{1}{x-1}$知，x-1≠0，即x≠1，所以变量x的取值范围是x≠1．
故答案是：x≠1；

（2）把x=4代入得到：m=$\frac{1}{2}{（4-1）^2}+\frac{1}{4-1}$=$\frac{29}{6}$，
即m的值是$\frac{29}{6}$．
故答案是：$\frac{29}{6}$；

（3）如图：
  ；

（4）该函数的其他性质：当x＜1时，y随x的增大而减小；
当1＜x＜2时，y随x的增大而减小等．
故答案是：当x＜1时，y随x的增大而减小．

点评 本题综合考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．