Question

16．如图所示，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-2，0）、B（4，0），其原点为D，连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出原点D的坐标；
（2）设P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取值最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，请直接写出P′点的坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

Answer 1

分析 （1）本题需先根据抛物线y=ax²+bx+4（a≠0）经过A（-2，0）、B（4，0）两点，分别求出a、b的值，再代入抛物线y=ax²+bx+4即可求出它的解析式．
（2）本题首先设出BD解析式y=kx+b，再把B、D两点坐标代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根据面积公式即可求出最大值．
（3）本题需先根据（2）得出最大值来，求出点P的坐标，得出四边形PEOF是矩形，再作点P关于直线EF的对称点P′设出MC=m，则MF=m．从而得出P′M与P′E的值，根据勾股定理，得出m的值，再由△EHP′∽△EP′M，得出EH和OH的值，最后求出P′的坐标，判断出不在抛物线上．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+4（a≠0）经过A（-2，0）、B（4，0）两点
∴把（-2，0）、B（4，0）代入抛物线得：a=-$\frac{1}{2}$，b=1，
∴抛物线解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．
∴顶点D的坐标为（1，$\frac{9}{2}$）；

（2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{k+b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{3}{2}$，b=6，
直线BD解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+6，
S=$\frac{1}{2}$PE•OE，
S=$\frac{1}{2}$PE•OE=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}$x（-$\frac{3}{2}$x+6）=-$\frac{3}{4}$x²+3x，
∵顶点D的坐标为（1，$\frac{9}{2}$），B（4，0）
∴1＜x＜4，
∴S=-$\frac{3}{4}$x²+3x（1＜x＜4），
S=-$\frac{3}{4}$（x²-4x++4）+3，
=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3，
∴当x=2时，S取得最大值，最大值为3；

（3）当S取得最大值，x=2，y=3，
∴P（2，3），
∴四边形PEOF是矩形．
作点P关于直线EF的对称点P′，连接P′E，P′F．
过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M，
设MC=m，则MF=m，P′M=3-m，P′E=2，
在Rt△P′MC中，由勾股定理，
2²+（3-m）²=m²，
解得m=$\frac{13}{6}$，
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H=$\frac{10}{13}$，
由△EHP′∽△EP′M，
可得$\frac{EH}{EP′}$=$\frac{EP′}{EM}$，
∴$\frac{EH}{2}$=$\frac{2}{\frac{13}{6}}$，
解得：EH=$\frac{24}{13}$．
∴OH=3-$\frac{24}{13}$=$\frac{15}{13}$．
∴P′坐标（-$\frac{10}{13}$，$\frac{15}{13}$）．
不在抛物线上．

点评 本题主要考查了二次函数的综合，在解题时要根据抛物线的性质，再结合相似三角形的性质，去求答案是解题的关键．