Question

7．如图，在等边△ABC中：
（1）在图（1）中，已知点D、E分别在AC、AB上，AE=EB，AD：AC=1：3，求证：△AED∽△CBD；
（2）在图（2）中，已知点F、G分别在BC、AF上，BF=FC，AG=GF，BG延长线交AC于点D，求证：AD：AC=1：3．

Answer 1

分析 （1）先根据等边三角形的性质得到∠A=∠C=60°，BC=AB，由AE=BE可得到CB=2AE，再由$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$得到CD=2AD，则$\frac{AD}{CB}=\frac{AE}{CB}$，然后根据两边及其夹角法可得到结论；
（2）过F作FE∥BD交AC于E，根据平行线等分线段定理即可得到结论．

解答 证明：（1）∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠C=60°，BC=AB，
∵AE=BE，
∴CB=2AE，
∵$\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴CD=2AD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AE}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠A=∠C，
∴△AED∽△CBD；

（2）如图2，过F作FE∥BD交AC于E，
∵BF=FC，
∴$\frac{BF}{FC}=\frac{DE}{EC}=1$，
∴DE=CE，
同理AD=DE，
∴AD=DE=EC，
∴AD：AC=1：3．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，正确的作出辅助线是解题的关键．